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2010年福州大学考研数学分析考试大纲

福州大学   2009-12-29 14:43 【 】【我要纠错

  基本内容:

  1.集合与映射:集合、子集、余集,集合的并、交、差,集合运算的交换率、结合率、分配率,笛卡儿乘积,映射、满射、单射、双射、逆映射,像与逆像,映射的复合,映射的限制与延拓,一元函数,函数的四则运算与复合,函数的图象,初等函数,函数的单调性、有界性、周期性与凸性。

  2.极限与连续:数列极限的 ξ-N定义,数列极限的唯一性,收敛数列的有界性,极限与四则运算,极限与不等式,单调有界原理,数e,无穷小量与无穷大量,函数极限的ξ-N 定义,与数列极限性质相平行的函数极限的性质,函数极限与数列极限的关系,单侧极限与无穷远处的极限,复合函数的极限,两个重要的极限,无穷小量与无穷大量的阶,函数的连续与间断,单侧连续,函数连续的局部性质,连续函数的四则运算,反函数与复合函数的连续性。间断点的分类,初等函数的连续性,函数连续的整体性质。

  3.导数与微分:导数及其几何意义,导数的四则运算,反函数与复合函数的求导,参数方程所表示的函数与隐函数的求导,基本初等函数的导数,可导与连续的关系,单侧导数,高阶导数,Leibniz公式。线性函数与微分,微分与导数的关系,微分的四则运算,反函数与复合函数的微分, 一阶微分形式的不变性,高阶微分。

  4.微分学基本定理及其应用:Fermat定理,Rolle定理,Lagrange中值定理,Cauchy中值定理。Taylor公式,Taylor公式的Peano余项及Lagrange余项。某些初等函数的Taylor展开式。微分学应用:待定型的定值法,函数的升降,极值,最值,凸性,拐点的判定,渐近线,函数的作图,曲率,曲率半径,曲率圆。

  5.不定积分:原函数与不定积分,基本积分公式,运算法则。 不定积分的换元法与分部积分法,有理函数的积分,三角函数有理式的积分,某些可有理化的函数的积分。

  6. 黎曼积分:R-积分,达布上、下和与上、下积分,R-可积的充要条件,R-可积与函数运算,重要的可积函数类,R-积分的线性性、可加性与正性,第一积分中值定理,变动上限积分所定义的函数的连续性与可微性。黎曼积分的计算:N-L公式,换元法与分步积分法,R-积分的近似计算。定积分的元素法与应用:面积、体积、弧长、旋转面的面积、重心、压力、功。

  7.实数理论与连续函数的整体性质:上、下确界,确界原理,单调有界原理,闭区间套定理,致密性定理,柯西收敛原理,有限覆盖定理,实数系的公理体系。有界闭区间上连续函数的性质:有界性定理,最值定理,介值定理。反函数连续性定理,一致连续性定理。

  8.数项级数:数列的上、下极限,部分和极限。数项级数收敛与发散,级数收敛的必要条件,收敛级数的线性运算与结合率,柯西收敛原理。单调有界原理,正项级数审敛法:比较判别法,柯西根值法,达郎贝尔比值法,积分判别法,拉伯判别法。任意项级数审敛法:莱布尼兹判别法,阿贝尔变换与阿贝尔判别法,狄里克莱判别法。绝对收敛级数与条件收敛级数。

  9. 广义黎曼积分:两类广义积分的收敛与发散,广义积分与级数,积分第二中值定理,比较判别法,柯西判别法,阿贝尔判别法,狄里克莱判别法,积分主值。

  10. 函数项级数:函数项级数的一致收敛,一致收敛的柯西收敛原理,M-判别法,狄里克莱判别法,狄尼定理,一致收敛级数的和函数的连续性,可微性与可积性,逐项求导与逐项求积。幂级数的收敛半径,柯西-阿达玛定理,阿贝尔第一、第二定理,幂级数的和函数的性质,函数的幂级数展开。Weierstrass定理。

  11. Fourier级数与Fourier变换:正交函数系,三角函数系的正交性,Fourier系数,Fourier级数。Dirichlet积分,Riemann引理,局部化定理,Dini判别法,Dirichlet——Jordan判别法,函数的Fourier级数展开,Fourier级数的逐项求导与逐项求积,

  12. 多元函数极限论:欧氏空间中的拓扑性质:范数,邻域,开集,闭集,开核,闭包,有界集,紧集,连通集,区域,聚点,点列的极限,柯西收敛原理,交集定理,致密性定理,有限覆盖定理,多元函数的极限与累次极限,函数的连续性,有界闭区域上连续函数的性质。

  13. 多元微分学:偏导数及其几何意义,线性函数与全微分,连续可微、可偏导之间的关系,链式法则,高阶偏导的次序交换定理,隐函数的偏导计算,高阶全微分,一阶微分形式的不变性。方向导数与梯度的定义与计算,梯度。Taylor公式。

  14. 向量值函数:向量值函数的极限与连续,向量值函数的偏导数和方向导数,线性映射与全微分,坐标函数,链式法则,Jacobi阵。

  15. 隐函数:隐函数定理,函数行列式的性质,函数相关。

  16. 多元微分学的应用:曲线的切线与法平面,曲面的切平面与法线,极值与条件极值,Lagrange乘数法。

  17. 含参变量积分:含参量常义积分所定义的函数的连续性、可微性、可积性,求导与积分,积分与积分的次序交换。含参变量广义积分的一直收敛及其判别法,含参量广义积分所定义的函数的性质,尤拉积分, 伽马函数与 B函数。

  18. 多重黎曼积分:重积分定义与性质,达布上、下和与上、下积分,可积的充要条件,可积函数类。重积分的计算:化重积分为累次积分,重积分的换元法,极坐标,柱坐标,球坐标。重积分的应用:曲面面积,重心,转动惯量,引力。广义重积分。

  19.曲线积分与曲面积分:定向曲线,定向曲面,两类曲线积分与两类曲面积分的定义,性质,计算及应用。

  20.向量分析初步: Green公式,Gauss公式,Stokes公式,曲线积分与路径无关的条件,场的三度,保守场与管量场。

  教材:

  《数学分析》复旦大学数学系,高等教育出版社。

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