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考研数学七种方法提高解题速度

考研教育网论坛   2008-04-26 09:23 【 】【我要纠错

  一、特值法

  特值法就是找一些符合题目要求的特殊条件解题。

  例:f(n)=(n+1)^n-1(n为自然数且n>1),则f(n)(A)只能被n整除(B)能被n^2整除(C)能被n^3整除(D)能被(n+1)整除(E)A、B、C、D均不正确 解答:令n=2和3,即可立即发现f(2)=8,f(3)=63,于是知A、C、D均错误,而对于目前五选一的题型,E大多情况下都是为了凑五个选项而来的,所以,一般可以不考虑E,所以,马上就可以得出答案为B。

  例:在等差数列{an}中,公差d≠0,且a1、a3、a9成等比数列,则(a1+a3+a9)/(a2+a4+a10)等于(A)13/16(B)7/8(C)11/16(D)-13/16(E)A、B、C、D均不正确 解答:取自然数列,则所求为(1+3+9)/(2+4+10),选A。

  例:C(1,n)+3C(2,n)+3^2C(3,n)+……+3^(n-1)C(n,n)等于(A)4^n(B)3*4^n(C)1/3*(4^n-1)(D)4^n/3-1(E)A、B、C、D均不正确 解答:令n=1,则原式=1,对应下答案为D.例:已知abc=1,则a/(ab+a+1)+b/(bc+b+1)+c/(ac+c+1)等于(A)1(B)2(C)3/2(D)2/3(E)A、B、C、D均不正确 解答:令a=b=c=1,得结果为1,故选A。

  例:已知A为n阶方阵,A^5=0,E为同阶单位阵,则(A)|A|>0(B)|A|<0(C)|E-A|=0(D)|E-A|≠0(E)A、B、C、D均不正确 解答:令A=0(即零矩阵),马上可知A、B、C皆错,故选D。

  二、代入法

  即从选项入手,代入已知的条件中解题。

  例:线性方程组x1+x2+λx3=4-x1+λx2+x3=λ^2x1-x2+2x3=-4有唯一解(1)λ≠-1(2)λ≠4 解答:对含参数的矩阵进行初等行变换难免有些复杂,而且容易出错,如果直接把下面的值代入方程,判断是否满足有唯一解,就要方便得多。答案是选C。

  例:不等式5≤|x^2-4|≤x+2成立(1)|x|>2(2)x<3 解答:不需要解不等式,而是将条件(1)、(2)中找一个值x=2.5,会马上发现不等式是不成立的,所以选E。

  例:行列式1 0 x 10 1 1 x =01 x 0 1x1 1 0(1)x=±2(2)x=0 解答:直接把条件(1)、(2)代入题目,可发现结论均成立,所以选D。

  三、反例法

  反例法就是找一个反例在推倒题目的结论,这也是经常用到的方法。通常,反例选择一些很常见的数值。

  例:A、B为n阶可逆矩阵,它们的逆矩阵分是A^T、B^T,则有|A+B|=0(1)|A|=-|B|(2)|A|=|B| 解答:对于条件(2),如果A=B=E的话,显然题目的结论是不成立的,这就是一个反例,所以最后的答案,就只需考虑A或E了。

  例:等式x^2/a^2+y^2/b^2+z^2/c^2=1成立(1)a^2+b^2+c^2=x^2+y^2+z^2(2)x/a+y/b+z/c=1,且a/x+b/y+c/z=0 解答:对于条件(1),若a=b=c=x=y=z=1,显然题目的结论是不成立的。所以,最后的答案,就只需要考虑B、C或E了。

  四、观察法

  观察法的意思,就是从题目的条件和选项中直接观察,得出结论或可以排除的选项。

  例:设曲线y=y(x)由方程(1-y)/(1+y)+ln(y-x)=x所确定,则过点(0,1)的切线方程为(A)y=2x+1(B)y=2x-1(C)y=4x+1(D)y=4x-1(E)y=x+2 解答:因切线过点(0,1),将x=0、y=1代入以下方程,即可直接排除B、D和E。

  例:不等式(|x-1|-1)/|x-3|>0的解集为(A)x<0(B)x<0或x>2(C)-3<x<0或x>2(D)x<0或x>2且x≠3(E)A、B、C、D均不正确 解答:从题目可出,x不能等于3,所以,选项B、C均不正确,只剩下A和D,再找一个特值代入,即可得D为正确答案。

  例:具有以下的性质:(1)它的对称轴平行于y轴,且向上弯;(2)它与x轴所围的面积最小,且通过(0,0),(1,-2)的抛物线为(A)y=4x^2-6x(B)y=2x^2-3x(C)y=4x^2-3x(D)y=x^2-3x(E)y=x^2-6x 解答:把x=1、y=-2代入选项,即可排除B、C和E。

  例:已知曲线方程x^(y^2)+lny=1,则过曲线上(1,1)点处的切线方程为(A)y=x+2(B)y=2-x(C)y=-2-x(D)y=x-2(E)A、B、C、D均不正确 解答:将 x=1、y=1代入选项,即可发现B为正确答案。

  五、经验

  经验法,通常在初等数学的充分条件性判断题中使用,一般的情况是很显然能看出两个条件单独均不充分,而联立起来有可能是答案,这时,答案大多为C。

  例:要使大小不等的两数之和为20(1)小数与大数之比为2:3;(2)小数与大数各加上10之后的比为9:11

  例:改革前某国营企业年人均产值减少40%(1)年总产值减少25%(2)年员工总数增加25%

  例:甲、乙两人合买橘子,能确定每个橘子的价钱为0.4元(1)甲得橘子23个,乙得橘子17个(2)甲、乙两人平均出钱买橘子,分橘子后,甲又给乙1.2元

  例:买1角和5角的邮票的张数之比为(10a-5b):(10a+b)(1)买邮票共花a元(2)5角邮票比1角邮票多买b张

  例:某市现有郊区人口28万人(1)该市现有人口42万人(2)该市计划一年后城区人口增长0.8%,郊区人口增长1.1%,致使全市人口增长1%

  六、图示法

  用画图的方法解题,对于一些集合和积分题,能起到事半功倍的效果。

  例:若P(B)=0.6,P(A+B)=0.7,则P(A|B跋)=(A)0.1(B)0.3(C)0.25(D)0.35(E)0.1667 解答:画出图,可以很快解出答案为C。

  例:A-(B-C)=(A-B)-C(1)AC=φ(2)C包含于B 解答:同样还是画图,可以知道正确答案为A。

  七、蒙猜法

  这是属于最后没有时间的情况,使用的一种破釜沉舟的方法。可以是在综合运用以上方法的基础上,在排除以外的选项中进行选择。而对于充分条件判断题来说,根据经验,选D和选C的概率比较大一些。

  七种方法就这些了。但对于我们实际应试来说,更多的还是在掌握基本概念的基础上,或者活学活用,或者按部就班。不管怎么说,我们追求速度,我们也追求质量。

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