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2008年考研数学复习指导之函数

   2007-09-24 15:17 【 】【我要纠错

  经常有同学捧着某些考研辅导书来问间断函数是否有原函数这样类似的问题。

  我的回答是“可积函数的原函数为什么一定是个连续函数?”是个伪命题,我的回答,首先是这个问题的前提错了:“可积函数并不一定有原函数”。所以根本不可能有“可积函数的原函数一定是个连续函数”这样的结论,这是某些考研辅导专家是在严重误导。

  函数“可积”并不是有“原函数”的充分条件,只有函数“连续”才是有“原函数”的充分条件(并不是必要条件)。所以说函数“连续”并不是有“原函数”的必要条件,因为确实可以举出“不连续的函数也是可能会有原函数”的经典反例的(见附注),但这已经有点偏离考纲了。

  原函数的概念与导函数的概念是“互逆”的“伴随概念”,根据达布定理“可导函数的导函数只可能有振荡间断点”的结论,可支持我的观点“可积函数并不一定有原函数”。

  归根结底,是因为可积函数可能有第一类间断点(可去间断点或跳跃间断点),这是就必定没有原函数。

  “可积”的概念是对有限区间上的“定积分”而言的,没有“可积函数的''不‘定积分”问题,一般考研辅导书上的关于“对于分段函数,每一段(不定)积分后,都有个常数,那最后积分结果的常数怎么确定?”也是一个伪问题。

  因为这要看这个函数(总体)是不是连续?

  即使分段连续,如果总体不连续(实际上就是分段点处不连续),那么就谈不上原函数和不定积分,也更谈不上常数应该如何确定了。

  至于总体连续的分段函数,是有一个“不定积分问题中常数的处理”问题。对此,在本博客曾经多次讨论过,请阅读我2007年7月2日写的“关于分段函数的不定积分”。

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·龚成通

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