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上海理工大学2007年硕士单考数学考试大纲

   2007-01-08 15:24 【 】【我要纠错

  一、函数、极限、连续

  1.准确掌握基本初等函数的性质及其图形;

  2.会建立简单问题的函数关系,并确定其定义域;

  3.理解极限的定义及其性质;

  4.理解两个极限存在准则(夹逼准则和单调有界准则),并能利用它们证明简单的极限问题;

  5.会利用等价无穷小替代、络必塔法则等方法求极限;

  6.理解函数在一点处连续的三种等价定义方式;

  7.会求函数的连续区间,判断函数间断点的类型;

  8.理解并掌握闭区间上连续函数的主要性质。

  二、一元函数微分学

  1.清楚导数和微分的概念及函数可导、可微、连续之间的关系;

  2.熟练掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则,掌握隐函数和由参数方程确定函数的二阶导数、特殊函数的高阶导数、幂指函数导数的计算方法;

  3.理解Rolle定理、Lagrange定理、Cauchy定理、Taylor定理(公式)的内容和意义, 能利用这些定理证明一些特殊点的存在性,或证明恒等式及不等式;

  4.能利用导数解决函数的单调性和极值、曲线的凹凸性和拐点、方程根的存在性、函数的最值等问题。

  三、一元函数积分学

  1.理解原函数与不定积分的概念;

  2.会用第一换元(凑微分)法求不定积分,能灵活运用第二换元法求不定积分;

  3.熟练掌握分部积分方法,能利用递推或循环运算等方法求不定积分;

  4.会求简单有理函数和简单无理函数的不定积分;

  5.理解定积分的定义;清楚定积分的性质(线性性质、保号性质、积分区间的可加性、积分中值定理等);

  6.理解变上限积分的定义、性质及求导方法,清楚连续函数的原函数的存在性;

  7.熟练运用Newton-Leibniz公式计算定积分;

  8.会利用定积分的换元法、分部积分法计算积分,计算简单的反常(广义)积分,讨论简单反常积分的敛散性。

  9.会求平面图形的面积、平面曲线的弧长、绕坐标轴旋转的旋转体体积;

  10.能利用定积分的性质、积分中值定理、原函数存在定理证明问题。

  四、空间解析几何与向量代数

  1.掌握向量的基本运算;

  2.掌握平面方程和直线方程建立的方法;

  3.会求点到平面之间的距离或点到直线的距离;

  4.会用平面束建立平面方程。

  五、多元函数微分学

  1.会求简单多元函数的极限;

  2.理解偏导数与全微分的概念,清楚偏导数存在与可微、连续之间的关系;

  3.掌握多元复合(抽象)函数的求导法则,会求隐函数(包括由方程组所确定的函数)的二阶偏导数;

  4.能利用偏导数求解曲面的切平面与法线、空间曲线(包括方程组型)的切线与法平面、方向导数、多元函数极值等问题。

  六、多元函数积分学

  1.掌握二重积分的计算方法(直角坐标、极坐标)和三重积分的计算方法(直角坐标、柱面坐标、球面坐标);

  2.能利用二重积分计算某些立体的体积、曲面的面积;

  3.掌握两类曲线积分的计算方法,了解Green公式成立的条件;

  4.会用Green公式计算一些曲线积分,会判断平面曲线积分与积分路径无关的条件,并用这一结论计算(或简化)某些特殊的对坐标的曲线积分;

  5.掌握两类曲面积分的计算方法,会用Gauss公式计算一些对坐标的曲面积分。

  七、无穷级数

  1.清楚无穷级数收敛的必要条件;

  2.熟练掌握正项级数的比值审敛法、根值审敛法和比较审敛法;

  3.掌握交错级数的Leibniz审敛法,清楚绝对收敛与条件收敛之间的关系;

  4.掌握幂级数收敛半径及收敛区域的求法,清楚幂级数在收敛区间内的性质(连续性、逐项可导性、逐项可积性), 并能利用这些性质求幂级数的和函数(或无穷级数的和)。

  八、常微分方程

  1.会求解变量可分离的方程、齐次方程、一阶线性方程、Bernoulli方程和全微分方程;

  2.清楚高阶线性微方程解的结构;

  3.掌握高阶常系数线性微分方程的解法;

  4.能用微分方程求解一些较为简单的应用问题。

  九、线性代数

  1.掌握行列式的性质,会计算行列式;

  2.掌握矩阵和逆矩阵的计算方法;

  3.掌握向量和线性方程组的基本理论;

  4.熟练掌握求矩阵的特征值和特征向量的方法,理解二次型的概念及其矩阵表示;

  5.掌握用相似变换化实对称矩阵为对角矩阵的方法。

  十、概率论

  1.掌握古典概率的计算方法,能用乘法公式、全概率公式、逆概率公式计算有关问题;

  2.掌握随机变量的概念和几种重要随机变量的分布律(或密度函数)、分布函数、数学期望和方差,会计算与随机变量有关的问题;

  3.清楚多维随机变量的联合分布和边缘分布的关系,能计算多维随机变量的基本概率问题、随机变量(或多维随机变量)的函数的概率分布和数学期望。

  十一、参考书目

  1.《高等数学》同济大学应用数学系编,第五版

  2.《线性代数》同济大学应用数学系编,第三版(或第四、五版)

  3.《概率论与数理统计》,浙江大学盛骤等编,第三版

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