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西北工业大学2007年硕士复试大纲(981数学综合)

西北工业大学   2006-09-26 11:03 【 】【我要纠错

  题号:981

  《数学综合》考试大纲

  一、考试内容

  (一)计算方法

  1.掌握误差知识、包括绝对误差、相对误差、有效数字的概念及相互关系,误差的来源、误差的估计、选用数值方法时的注意之点。

  2.熟练掌握插值方法:包括插值问题的定义、插值多项式的存在唯一性,各种代数插值多项式的表达式及其误差表达式、分片插值、三次样条函数、有理函数插值等。

  3. 熟练掌握函数的最佳逼近方法。包括最佳平方逼近、正交多项式、用正交多项式作函数的最佳平方逼近,数据的最小二乘曲线拟合等。

  4.熟练掌握数值积分与数值微分方法,包括数值积分的基本思想与求积公式、Newdon-Cotes公式、复化求积公式、Romberg算法、代数精确度的概念、高斯型求积公式、数值微分的几种常用方法。

  5. 掌握方程求根方法,包括二分法、迭代法、牛顿法、弦割法、抛物线法、迭代格式收敛阶的概念等。

  6. 熟练掌握线性方程组的解法,包括消元法、三角分解法、简单迭代法、Gauss-Seidel迭代法、向量与矩阵的范数与方程组的性态。

  7. 熟练掌握矩阵特征值与特征向量的计算方法,包括乘幂法与反幂法、雅可比法、QR方法、对称三角矩阵的二分法等。

  8. 熟练掌握常微分方程初值问题数值解法,包括欧拉方法与改进的欧拉方法、龙格-库塔方式、线性单步方法的收敛性、误差估计和稳定性、线性多步方法等。

  (二)概率论与数理统计

  1.事件与概率: 理解样本空间、随机事件的概念,掌握事件之间的关系及运算。理解概率的统计定义,古典定义,几何公理化定义,会利用古典定义,几何定义计算简单事件的概率。掌握概率的基本性质及相关计算。

  2.条件概率与统计独立性: 理解条件概率的概念,掌握概率的乘法定理,全概公式,Bayes公式。理解事件独立性的概念,掌握Bernoulli概型及二项式概率计算公式。

  3.随机变量与分布函数: 理解随机变量的概念,离散型随机变量及分布律的概念与性质,连续型随机变量及密度函数的概念与性质。理解分布函数的概念与性质,会利用概率分布计算有关事件的概率。掌握二点分布,二项分布,几何分布,泊松分布,超几何分布,均匀分布,正态分布与指数分布。理解多维随机变量的概念,掌握二维随机变量的联合分布函数,二维离散型随机变量的联合分布律及其性质,二维连续型随机变量的联合密度函数及其性质,会计算有关事件的概率。掌握二维随机变量的边缘分布及条件分布。理解随机变量独立性的概念并会判断。会求一个随机变量函数的概率分布,两个随机变量的简单函数(和,商,最大值,最小值)的分布,随机变量变换的概率分布。

  4.随机变量的数学特征与特征函数: 理解数学期望、方差的概念、性质与计算,掌握二项分布,几何分布,泊松分布,均匀分布,正态分布,指数分布的数学期望与方差。理解协方差、相关系数的概念、性质与计算。了解条件数学期望和矩的概念。理解特征函数的概念、基本性质,会求常用分布的特征函数。

  5.极限定理: 理解大数定律概念,知道车贝晓夫大数定律,贝努里大数定律,泊松大数定律和马尔可夫大数定律。理解中心极限定理的概念,掌握独立同分布的中心极限定理,Demoiver-Laplace中心极限定理,了解林德贝格-Feller中心极限定理。理解分布函数列的弱收敛,知道正极限定理,逆极限定理。理解随机变量序列的以概率收敛,以分布收敛,r-阶收敛和以概率1收敛的概念以及这几种收敛之间的关系。

  6.数理统计: 理解总体、样本、统计量的概念,掌握样本矩的数学期望与方差。理解次序统计计量、经验分布函数的概念并知道性质。知道χ2-分布,t-分布,F-分布,掌握正态总体样本均值、样本方差的抽样分布。 会求参数的矩估计量、最大似然估计量,掌握估计量的无偏性、最小方差无偏性、有效性、相合性和渐近正态性标准。会求一个正态总体参数的区间估计,两个正态总体均值差,方差比的区间估计。理解假设检验概念,知道犯两类错误的概率,掌握正态总体参数的检验方法。理解统计决策概念,会参数的贝叶斯估计。掌握一元线性回归模型、多元线性回归模型参数的最小二乘估计、估计量的性质与分布,回归方程、回归系数的显著性检验与预测。

  (三)复变函数

  1. 熟练掌握解析函数的概念,解析函数的各种判定法以及解析函数与调和函数的关系。

  2. 理解初等多值函数的概念。

  3. 熟练掌握复积分的基本定理,如柯西积分定理,柯西积分公式等。

  4. 熟练掌握解析函数的幂级数以及罗朗级数表示法。

  5. 掌握解析函数的唯一定理以及最大模原理。

  6. 熟悉解析函数在孤立奇点性质。

  7. 熟练掌握残数(留数)定理及其在实积分计算中应用。

  8. 掌握辐角原理及其应用。

  9. 熟练掌握分式线性变换以及简单初等函数构成的映射的特征。

  10. 熟悉保形变换的黎曼存在定理,边界对应定理以及克利斯托弗-席互兹公式。

  二、参考书目

  1. 封建湖、车刚明、聂玉峰,《数值分析原理》,科学出版社,2001

  2. 李贤平,《概率论基础》(第二版),高等教育出版社

  3. 赵选民、徐伟、师义民,秦超英《数理统计》,科学出版社,2002

  4. 钟玉泉编,《复变函数论》(第二版)  高等教育出版社  1988年

  5. 封建湖、车刚明,《计算方法典型题分析解集》(第2版),西北工业大学出版社,2000

  6. 赵选民、师义民,《概率论与数理统计典型题分析解集》(第3版),西北工业大学出版社,2003

  7. 李建林,《复变函数典型题分析解集》 西北工业大学出版社 1998

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