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中国科学院研究生院2007年高等代数考试大纲

中国科学院研究生院   2006-06-22 17:39 【 】【我要纠错

  一、考试性质

  中国科学院研究生院数学系硕士研究生入学《高等代数》考试是为招收数学系各专业学生而设置的具有选拔功能的业务水平考试。它的主要目的是测试考生对高等代数基础知识的掌握程度和应用相关知识解决问题的能力。考试对象为参加全国硕士研究生入学考试的考生。

  二、考试的基本要求

  要求考生比较系统地理解高等代数的基本概念和基本理论,掌握高等代数的基本思想和方法。要求考生具有抽象思维能力、逻辑推理能力、运算能力和综合运用所学的知识分析问题和解决问题的能力。

  三、考试方法和考试时间

  高等代数考试采用闭卷笔试形式,试卷满分为150分,考试时间为180分钟。

  四、考试内容和考试要求

  一、多项式理论

  考试内容

  多项式的相关概念和基本性质一元多项式的带余除法最大公因式的性质多项式唯一分解定理多元多项式的概念和对称多项式的基本性质

  考试要求

  1.理解和掌握基本概念,如整除、不可约性、互素、重因式、对称多项式等,熟悉一元多项式最大公因式的性质,知道多项式在复数域、实数域及有理数域上分解的特殊性。

  2.熟悉(Euclid)带余除法,准确理解多项式唯一分解定理,能够理解和运用余数定理和重因式判定定理。

  3.理解高斯(Gauss)引理,能够运用艾森斯坦(Eisenstein)判别法判定整系数多项式在有理数域上的不可约性。

  4.理解代数基本定理。

  二、行列式

  考试内容

  行列式的概念和基本性质行列式计算行列式按行(列)展开定理拉普拉斯(Laplace)定理及行列式的乘法法则

  考试要求

  1.理解行列式的概念,掌握行列式的性质、拉普拉斯(Laplace)定理及行列式的乘法法则。

  2.会应用行列式概念和基本性质计算行列式,能够熟练掌握行列式按行(列)展开定理,能够运用递推公式计算一些经典类型的行列式。

  三、向量和矩阵

  考试内容

  向量的线性组合和线性表示向量组的等价向量组的线性相关与线性无关向量组的极大线性无关组向量组的秩向量组的秩与矩阵的秩之间的关系

  矩阵的概念矩阵的基本运算矩阵的转置伴随矩阵逆矩阵的概念和性质矩阵可逆的充分必要条件矩阵的初等变换和初等矩阵矩阵的秩矩阵的等价分块矩阵及其运算

  考试要求

  1.理解n维向量、向量的线性组合与线性表示等概念。

  2.理解向量组线性相关、线性无关的定义、熟练掌握判断向量组线性相关、线性无关的方法。

  3.理解向量组的极大线性无关组和向量组的秩的概念,会求向量组的极大线性无关组及秩。

  4.理解向量组等价的概念、清楚向量组的秩与矩阵秩的关系。

  5.理解矩阵的概念,了解单位矩阵、数量矩阵、对角矩阵、三角矩阵、对称矩阵和反对称矩阵,熟悉它们的基本性质。

  6.掌握矩阵的数乘、加法、乘法、转置等运算。了解方阵的多项式概念。

  7.理解逆矩阵的概念,掌握可逆矩阵的性质,以及矩阵可逆的判别条件,理解伴随矩阵的概念,会用伴随矩阵求逆矩阵。

  8.掌握矩阵的初等变换、初等矩阵的性质和矩阵等价的条件,理解矩阵的秩的概念,了解矩阵的秩与行列式的关系。了解矩阵乘积的秩与因子矩阵的秩的关系,了解n阶方阵非退化的概念及充分必要条件,熟练掌握用初等变换求矩阵的秩和逆矩阵的方法。

  9.熟悉分块矩阵及其运算。

  四、线性方程组

  考试内容

  线性方程组的克莱姆(Cramer)法则齐次线性方程组有非零解的充分必要条件非齐次线性方程组有解的充分必要条件线性方程组解的性质和解的结构齐次线性方程组的基础解系和通解解空间及其维数非齐次线性方程组的通解

  考试要求

  1.会用克莱姆法则求解线性方程组。

  2.掌握齐次线性方程组有非零解的充分必要条件及非齐次线性方程组有解的充分必要条件。

  3.熟练掌握齐次线性方程组的基础解系、通解及解空间的概念,掌握齐次线性方程组的基础解系和通解的求法。

  4.理解非齐次线性方程组解的结构及通解的概念。

  5.掌握用初等行变换求解线性方程组的方法。

  五、二次型

  考试内容

  二次型及其矩阵表示非退化线性替换与矩阵合同二次型的秩惯性定理二次型的标准形和规范形二次型及实对称矩阵的正定性

  考试要求

  1.掌握二次型及其矩阵表示,理解非退化线性替换与矩阵合同的概念及性质,清楚二次型的非退化线性替换与二次型矩阵合同的关系。

  2.熟练掌握二次型的标准形、秩、规范形的概念以及惯性定理,理解复对称矩阵合同的充分必要条件。

  3.会用配方法化二次型为标准形。

  4.掌握二次型及实对称矩阵正定的概念及性质,掌握二次型及实对称矩阵正定的判别法。

  六、线性空间

  考试内容

  集合与映射的基本概念线性空间的概念与基本性质线性空间的维数、基与向量的坐标线性空间中的基变换与坐标变换过渡矩阵线性子空间及其运算线性空间的同构考试要求

  1.熟悉集合与映射的概念。

  2.理解线性空间的概念掌握线性子空间的判定方法。

  3.掌握线性空间的维数、基和坐标等基本概念和性质。

  4.掌握线性空间的基变换公式和坐标变换与过渡矩阵的关系。

  5.理解生成子空间的概念,掌握求子空间基和维数的方法。

  6.掌握子空间的交、和、直积运算及其性质。

  7.了解线性空间同构的概念,了解同构映射的性质。

  七、线性变换,矩阵的特征值和特征向量

  考试内容

  线性变换的概念和简单性质线性变换的运算线性变换的矩阵线性变换(矩阵)的特征值、特征向量和特征子空间线性变换的特征多项式及Hamilton-Caylay定理矩阵相似的概念及性质矩阵可对角化的充分必要条件线性变换的值域与核线性变换的不变子空间矩阵的若当(Jordan)标准型

  考试要求

  1.掌握线性变换的概念、基本性质及运算。

  2.理解线性变换的矩阵,了解线性变换与矩阵的对应关系。

  3.掌握线性变换及其矩阵的特征值、特征向量、特征多项式的概念及性质,能够熟练地求解线性变换及矩阵的特征值和特征向量。

  4.了解关于特征多项式的Hamilton-Caylay定理,了解矩阵的迹。

  5.把握线性变换的特征子空间、线性变换的不变子空间的概念。

  6.掌握矩阵相似的概念、性质及矩阵可对角化的充分必要条件。熟悉将矩阵化为对角矩阵的方法。

  7.理解线性变换的值域、核、秩、零度的概念。

  8.了解矩阵的若当(Jordan)标准型。

  八、欧几里德空间

  考试内容

  线性空间内积的定义及其性质欧几里德空间的概念标准(规范)正交基施密特(Schmidt)正交化过程正交矩阵正交变换及其性质正交子空间、正交补及其性质实对称矩阵的特征值、特征向量及相似对角矩阵欧几里德空间的同构

  考试要求

  1.掌握线性空间内积、向量的正交、欧几里德空间等基本概念及性质。

  2.理解正交变换和正交矩阵的关系,欧几里德空间中过渡矩阵的特殊性。

  3.理解和掌握标准(规范)正交基的概念,掌握标准(规范)正交基的求法(施密特正交化过程),了解标准正交基下度量矩阵、向量坐标及内积的特殊表达。

  4.掌握正交矩阵的概念及性质,了解正交矩阵与标准正交基的过渡矩阵之间的关系。

  5.理解和掌握正交变换的概念及其性质,了解正交变换和正交矩阵之间的关系。

  6.理解正交子空间、正交补的概念及性质。

  7.熟练掌握对称矩阵的特征值和特征向量的特殊性质,对给定的实对称矩阵A会求正交矩阵T使T′AT成为对角矩阵。

  8.了解欧几里德空间同构的概念和性质,了解有限维欧几里德空间同构的充分必要条件。

  五、主要参考书目

  《高等代数》,北京大学数学系几何与代数教研室代数小组编,版次:1978年3月第1版,2003年7月第3版,2003年9月第2次印刷,高等教育出版社出版

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