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李永乐:复习线性代数要注重知识点的衔接与转换

李永乐   2006-06-05 13:48 【 】【我要纠错

  考研复习现在已经进入整理冲刺阶段,这段时间大家应把复习过的知识系统化综合化,注意搞细搞透搞活,也可适当做几套模拟题,这既可查漏补缺也可兼代积累一点临场经验。本文现针对线性代数课程的特点,提如下建议供考生参考。

  一、注重对基本概念的理解与把握,正确熟练运用基本方法及基本运算。

  线性代数的概念很多,重要的有:

  代数余子式,伴随矩阵,逆矩阵,初等变换与初等矩阵,正交变换与正交矩阵,秩(矩阵、向量组、二次型),等价(矩阵、向量组),线性组合与线性表出,线性相关与线性无关,极大线性无关组,基础解系与通解,解的结构与解空间,特征值与特征向量,相似与相似对角化,二次型的标准形与规范形,正定,合同变换与合同矩阵。

  往年常有考生没有准确把握住概念的内涵,也没有注意相关概念之间的区别与联系,导致做题时出现错误。例如,矩阵A=(α1,α2,……,αm)与B=(β1,β2……,βm)等价,意味着经过初等变换可由A得到B,要做到这一点,关键是看秩r(A)与r(B)是否相等,而向量组α1,α2,……αm与β1,β2,……βm等价,说明这两个向量组可以互相线性表出,因而它们有相同的秩,但是向量组有相同的秩时,并不能保证它们必能互相线性表现,也就得不出向量组等价的信息,因此,由向量组α1,α2,……αm与β1,β2,……βm等价,可知矩阵A=(α1,α2,……αm)与B=(β1,β2,……βm)等价,但矩阵A与B等价并不能保证这两个向量组等价。

  又如,实对称矩阵A与B合同,即存在可逆矩阵C使CTAC=B,要实现这一点,关键是二次型xTAx与xTBx的正、负惯性指数是否相同,而A与B相似是指有可逆矩阵P使P-1AP=B成立,进而知A与B有相同的特征值,如果特征值相同可知正、负惯性指数相同,但正负惯性指数相同时,并不能保证特征值相同,因此,实对称矩阵A~BAB,即相似是合同的充分条件。

  线性代数中运算法则多,应整理清楚不要混淆,基本运算与基本方法要过关,重要的有:

  行列式(数字型、字母型)的计算,求逆矩阵,求矩阵的秩,求方阵的幂,求向量组的秩与极大线性无关组,线性相关的判定或求参数,求基础解系,求非齐次线性方程组的通解,求特征值与特征向量(定义法,特征多项式基础解系法),判断与求相似对角矩阵,用正交变换化实对称矩阵为对角矩阵(亦即用正交变换化二次型为标准形)。

  二、注重知识点的衔接与转换,知识要成网,努力提高综合分析能力。

  线性代数从内容上看纵横交错,前后联系紧密,环环相扣,相互渗透,因此解题方法灵活多变,复习时应当常问自己做得对不对?再问做得好不好?只有不断地归纳总结,努力搞清内在联系,使所学知识融会贯通,接口与切入点多了,熟悉了,思路自然就开阔了。

  例如:设A是m×n矩阵,B是n×s矩阵,且AB=0,那么用分块矩阵可知B的列向量都是齐次方程组Ax=0的解,再根据基础解系的理论以及矩阵的秩与向量组秩的关系,可以有r(B)≤n-r(A)即r(A)+r(B)≤n,进而可求矩阵A或B中的一些参数。

  再如,若A是n阶矩阵可以相似对角化,那么,用分块矩阵处理P-1AP=∧可知A有n个线性无关的特征向量,P就是由A的线性无关的特征向量所构成,再由特征向量与基础解系间的联系可知此时若λi是ni重特征值,则齐次方程组(λiE-A)x=0的基础解系由ni个解向量组成,进而可知秩r(λiE-A)=n-ni,那么,如果A不能相似对角化,则A的特征值必有重根且有特征值λi使秩r(λiE-A)<n-ni,若A是实对称矩阵,则因A必能相似对角化而知对每个特征值λi必有r(λiE-A)=n-ni,此时还可以利用正交性通过正交矩阵来实现相似对角化。

  又比如,对于n阶行列式我们知道:若|A|=0,则Ax=0必有非零解,而Ax=b没有惟一解(可能有无穷多解,也可能无解),而当|A|≠0时,可用克莱姆法则求Ax=b的惟一解;可用|A|证明矩阵A是否可逆,并在可逆时通过伴随矩阵来求A-1;对于n个n维向量α1,α2,……αn可以利用行列式|A|=|α1α2……αn|是否为零来判断向量组的线性相关性;矩阵A的秩r(A)是用A中非零子式的最高阶数来定义的,若r(A)<r,则A中r阶子式全为0;求矩阵A的特征值,可以通过计算行列式|λE-A|,若λ=λ0是A的特征值,则行列式|λ0E-A|=0;判断二次型xTAx的正定性,可以用顺序主子式全大于零。

  凡此种种,正是因为线性代数各知识点之间有着千丝万缕的联系,代数题的综合性与灵活性就较大,同学们整理时要注重串联、衔接与转换。

  三、注重逻辑性与叙述表述

  线性代数对于抽象性与逻辑性有较高的要求,通过证明题可以了解考生对数学主要原理、定理的理解与掌握程度,考查考生的抽象思维能力、逻辑推理能力。大家复习整理时,应当搞清公式、定理成立的条件,不能张冠李戴,同时还应注意语言的叙述表达应准确、简明。

  线性代数中常见的证明题型有:

  证|A|=0;证向量组α1,α2,……αt的线性相关性,亦可引伸为证α1,α2……,αt是齐次方程组Ax=0的基础解系;证秩的等式或不等式;证明矩阵的某种性质,如对称,可逆,正交,正定,可对角化,零矩阵等;证齐次方程组是否有非零解;线性方程组是否有解(亦即β能否由α1,α2……,αs线性表出);对给出的两个方程组论证其同解性或有无公共解;证二次型的正定性,规范形等。

  总之,数学题目千变万化,有各种延伸或变式,同学们要在考试中取得好成绩,一定要认真仔细地复习,华而不实靠押题碰运气是行不通的,必须要重视三基,多思多议,不断地总结经验与教训,做到融会贯通。

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