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黄先开教授解析2006年考研数学(一)

搜狐   2006-01-20 00:00 【 】【我要纠错

  主持人:各位网友,大家好!欢迎来到搜狐嘉宾聊天室。

  今天来到搜狐访谈直播间的是黄先开教授,给我们大家点评一下大家非常关心的2006考研数学的问题,请黄教授首先给我们总体的谈一下。

  黄先开:各位网友,大家好!非常高兴有这样一个机会在考完以后来到搜狐网站,给大家做一个今年考试题情况的交流。整个今年考完以后,如果说对这套题做一个总体的评价,我自己认为今年从数学一到数学四这四份试卷应该说出题的水平是相当高的,而且比较好的反映了我们这样一个研究生入学考试数学这门课程的命题思想。

  所以整个这份试卷,数一到数四大致都看了看,而且在考试当天我也是作为监考老师,所以基本上对同学做题的情况有一个了解。

  这份试卷我自己看完以后,除了刚才讲的总体评价以外,确确实实从知识的覆盖面、从难易程度的安排上来看,比较好的符合了我们这样一个考试的要求。也对我们下一步本科数学教学我认为有比较好的教学作用。客观上如果我们真正按照考试大纲的要求系统的比较全面的进行了复习,我相信大家应该都能够取得一个比较理想的成绩。

  总的来看,我自己认为,一方面把所谓的基本概念、基本理论、基本方法的考核放到了一个非常重要的位置,所以整个数学试题可以说比较好的把这三方面的内容体现出来了。但是我们也知道考研数学绝对不仅仅考基本概念、基本理论、基本方法,所以第二个层次的考试,也就是考大家如何灵活的去应用我们的知识,今年这四份试卷在这方面也有很好的体现。

  所以从我们刚开始组织大家的复习,到现在这份试卷我们看到以后,两个层次的考试,第一个层次,就是我刚才说的考基本概念、基本理论、基本方法,很好的体现出来了。其实从我们辅导老师的角度来看,从相当多的做题的学生来看,我想可能更关心如何的考我们运用知识的能力。这种考核,因为从本质上来讲,可以比较好的来区分我们这样一个数学学习的一种本质的,就是我这种差别是不是能够体现出来了。而这样一种差别就是我灵活的运用我的知识解决这种问题,恰恰就是同学们上研究生的时候我一直认为最应该具有的素质,所以希望通过这份试卷把这种能力区分开来,体现出我们有没有这样一种能力在里头,我认为这份试卷也比较好的反映这方面的要求了。

  考完以后我也听到了很多同学有不同的反映,相当一部分同学认为今年试卷可能比较简单,但是也有个别同学发现真正我要把一个题,把最后的完整答案算出来,可能还有一些难度。其实这里头我认为主要就是从这样一个灵活运用知识的角度来看,是不是我们真正的做到了这一点,如果你能够做到这一点你会发现这份试卷应该说我们可以比较好的全部把它做出来。但是如果我们没有这方面的准备,看起来这个题可能很简单,但真正把完整答案算出来的话可能又会遇到困难,这方面我认为不仅仅是一个基本概念、基本理论、基本方法的问题,更多的还要考虑我们自己在平时的训练过程中是不是真正抓住了我们现在考研,特别是数学考试的命题特点,它来考我们灵活的运用知识的能力从哪方面来考,如果我们很好的把握应该说做这种试卷成绩应该是比较理想的,感觉比较简单的同学应该说这方面是比较充分的,所以能够比较好的把自己的水平发挥出来。

  这是我想泛泛的谈一下今年对整个试卷的感受,但是我想接下来更多的希望跟大家交流一下,对这套试卷某些具体的题、某些具体的方法、某些具体的思路,大家如果有什么想法我想利用这个机会跟大家多做一些交流。

  网友:在网上看到了一些解答,用到了麦克劳林展开,对于纯经济系的考生来说不太公平,因为没有系统的学习过,您对这种情况,应该怎么解答,评分的时候应该采取什么样的方式?

  黄先开:我想刚才这位网友可能很关心数学四用到的所谓麦克劳林展开的那种方法,大概有两个地方。

  一个地方是选择题第一题,还有一个是相当于第19题。其实这两个题当然可能网上有一些解答是按照这样的方法来做的,其实这两个题我自己认为没有必要用麦克劳林公式。像选择题的第1题,也就是整个试卷的第7题,涉及到一个二级导数大于零,我们一般想到可能用到麦克劳林,但是对于我们考数三、数四大家知道公式又是步骤要求的,因此遇到这种情况我们在辅导的时候其实也多次的强调,其次典型的应该用曲线的凹凸性,这个题用这个就可以找出来。

  完全类似的像第19题,其实也没有必要用麦克劳林公式,我们直接运用这个极限的预算法则再加上其他的法则都可以轻松的把这个问题解答,所以我认为数四不存在超纲的问题。

  网友:请问数三最后一个题极大似然应该怎么做?

  主持人:由于访谈的局限性不能很清晰的演算过来,老师可以稍微提一下用什么方法。

  黄先开:这个考生是提到了今年整个数学考试里面我认为比较创新的一个题,确实也是整个试卷难度比较大的地方,这个数一里面也出现了。因为平时大家做题的时候都没有出现概率密度函数是分三段的,一般情况下最多是分两段,所以这个题用极大似然估计求这样一个参数,实际上我认为还是涉及到你对这个概念的理解。因为极大似然估计我们要找的是联合概率密度函数取到最大值的时候我去反求参数,所以对于这个题来讲首先我要理解联合密度概率函数实际上等于边缘概率密度函数相乘的,所以怎么把联合密度函数乘起来,这涉及到分段函数相乘。但是这个题的条件告诉你样本点取0到1的时候大N个,所以我找联合密度函数的时候这个大N个的我们是清楚的。剩下就是小N减大N个,这样你把它乘起来得到一个,你再用通常的方法估计这个参数就可以了。

  网友:数二的不等式证明题,把题目看错了将左右两边看错为统一形式,仅证明了F(b)大于F(a),会怎么评分?

  黄先开:这个题现在我们还没有一个完整的真正的标准的试卷,大家只是通过监考过程中了解的一些信息,我们也发现在网上不同的版本对这个不等式的表述形式是不完全一样的,所以这个题实际上从我了解的情况来看两边应该是对称的,所以刚才这位网友提这个问题应该是没有问题的。因为我没有看到完整的原始的题是什么样,但是如果两边不对称这个题实际上是没有办法证明的,所以两边一对称你用参数变异的方法找一个参数去换都可以,然后求两次导数,两次导数是对号的,最后用单调性很轻松的就可以证明出来了。

  主持人:我们也知道现在网上的版本不一样,答案也不一定都是非常标准的,我们看到现在又有网友提问,请你整体说一下数一。

  那请老师分别针对数一、数二、数三、数四,根据考试的情况给我们分析一下吧。

  黄先开:刚才主持人也说了,因为我们的拿到的题不见得和原题完全一致,所以对所谓的标准答案也很难做到标准,我利用这个机会给大家简单的分析一下。

  数学一首先第15大题,作为一个二重积分的计算题应该说是很基础的。大家也知道由于我们的积分区域是具有对称性的,所以马上想到我这个倍减函数的奇偶性,我们在运算性其中的一部分具有奇偶性,所以整个后面一部分就不要去算它了,剩下的是一个典型的利用极坐标来计算的情况。这个题的答案我认为应该是二分之一派乘上LM2.这应该是一个基本题,实际上这块我们辅导的时候也给大家强调过,除了极坐标下如何来计算二重积分,二重积分里面的一些变化情况,就是积分区域具有倍份性我想到奇偶性。第二,如果积分区域不具有倍份性,但是有奇偶性,我们可以思考能不能进行适当的分别,我再利用这个来做。

  今年考的这个题应该说是第一部分处理了一个简单的用一下这种技巧就可以很方便的把答案算出来。

  数学一的第16大题,实际上是用公式给出来我们的数列,这个时候标准方法单调有极限来做,首先证明极限存在,然后假设这个极限是多少,在公式里边同时找极限,找到这个极限应该是等于零。

  第二步再来计算一个幂指函数的极限,这个幂指函数明显的是等于一,作为幂指函数如果极限是一可以很简单的,大家都知道辅导时候我们都知道是指数函数从而很方便的计算出来。这个答案应该是一的负六分之一次幂。

  数一的第7题,把一个函数转为X的幂级数。大家知道在幂极数这部分主要考点考两个,一个是给一个数求,另外一个是给一个函数转为幂极数。转为幂极数有一个方法,一个是直接法,一个是间接法,这个我们也特别强调,实际考试一般都考间接法,这个函数也是一样的,只要适当的去分解,最后都是用一个最简单的一减X分之一,这个函数转为幂极数来讨论就可以。

  在这个题里头大家应该注意到收敛区间,因为我们把它分成了几部分,几部分的收敛区间不完全一致,所以我们应该找它的公共部分。

  数一的第18题,实际上可以看作是一个稍微综合一点的问题。首先涉及到二级偏倒数的计算,这应该是一个基本要求,引出一个微分方程。这个微分方程可以把它看作是可降阶的,也可以使直接等式的两边同时乘上一个U,然后把左边凑成某一个函数的导数,直接积分。最后找到FU答案应该是LMU.

  其实类似的问题只要参加过辅导的同学印象应该比较深,其次在搜狐网站也挂了我们考研教育网学校四套模拟题,大家看第三套模拟题第18题跟这个是完全类似的。

  数一第19题,是涉及到第二类曲线积分的计算或者说是证明。要求证明在任何一个分段光滑的简单曲线上第二类曲线为零,大家知道用格林公式,涉及到偏导数的计算。告诉我们的条件是类似于一个函数,所以只要把条件的等式两边同时计算导数,再令这个级等于一,这样与两个偏倒数刚好是相同的,从而证明我们需要的这样一个结论。

  类似这样的题在陈老师编的复习指南里也有。

  数一第20题,这个题还稍微有一点特别,告诉我们分其次方程有三个线性无关的解,要证明系数举证的次数等于零。大家可以发现质至少是2,因为根据质的两个定义方法,第一行、第二行无关,所以这个举证至少为2.也可以看到至少有一个2阶指数为0,所以至少为2.问题是我这个为什么小于等于2,复习的时候如果大家注意到这两点,告诉你非其次方程有三个现在无关的解,也就是告诉你其次方程有两个线性无关的解,从而导数这个条件。事实上我们辅导的时候也特别强调,只要见到了线性方程组我们应该思考对应的质,这刚好利用其次线像方程这样就联系起来了。所以这个题的核心就是我对应的其次线性方程有多少个线性无关的解,但是也可以按照解的性质,两个非其次方程的解相减以后是其次方程的解。假设非其次方程有三个线性无关的解比如说阿尔法1,或者简单的写A1、A2、A3,那好了都是无关的解了,它的系数举证应该满足条件,从而证明我这个质等于2.有些时候在考试的时候,即使不能完全的证明出来,但是像关键步骤写出来了我们也是可以得分的。

  第二部分求A和B的质再求通解,这就回到我们常规的问题来了。这个地方算出来A是等于2,1应该等于负3.

  数一的第21题,也是线性代数里考得比较灵活的一个题,是求特定向量,但是又没有给告诉我们举证A的具体元素,这种题我们看作是抽象来求值。其实在这里头辅导的时候我们也说了,抽象取证来考虑特征值有四个可以说等价的形式,一个形式是利用行列式等于零,第二个形式是利用举证的质,第三个是利用方程组的解,第四个直接利用向量的定义。平时我们见的比较多的都是第四种情况,这四个知识点如果我们能够连贯起来这个地方出题就可以很灵活了,所以这个在复习过程中其实是值得大家特别注意的。

  这个题如果大家上一下搜狐网去搜索一下我们考研教育网学校的四套模拟题可以找一下第四套,因为这个题今年的数一、数二、数三、数四都考了同一个题,如果把我们第四套模拟题里的填空题再加上线性的大题来看,刚好把这个题的问题可以说都包含进去了。也就是说这种典型的思想在这个模拟题里都很好的体现出来了。因为搜狐网还有考研教育网学校的模拟题大家可以看一下数四的这套题。

  首先得到的是每行元素之合是等于3,我们辅导的时候也说了,告诉我们两个线性无关解的向量,相当于告诉我们有两个0的值,对于的是向量,所以特征值是300,对应向量也出来了,然后把阿尔法1、2,因为本身不是正交,我们把它正交化就构成我们的正交取证。

  考数三、数四还有一个步,要求举证一。数三、数四还涉及到求某一个举证的高次幂,这个大家可以稍微注意一下,我们发现网上提供的信息和我们的试卷是有差别的,应该求这个举证的6次幂,但是我们很多网上的版本里没有这个举证的高次幂。其次再利用对角化求多次幂也是比较常规的了。

  作为一个X平方去求概率密度这是一个基础问题,也就是说随机变量的函数求分数,这个地方通过定义先找出X平方它的值域范围,再根据概率密度函数,把负1、2、3带到这个表达式里面,我们可以得到三个点,所以求这个概率密度的时候我们是要分四段来讨论。这也是我们上课辅导的时候特别强调的处理技巧,这一点如果没有这样去思考可能个别同学会有一定的难度。

  其次求级方差,算出来的结果大家可以去参考应该是三分之二,最后求一个求出来的答案应该是四分之一,相当于直接求概率就可以。

  23题刚才有一位网友已经问到了,这是今年数一里面难度最大的一个题,这个题可以看作一个新的题型,但是本质上还是你是不是理解了极大似然的核心估计是什么,你找出来再去求级次这个问题就解决了。

  数二第15题,刚才已经说了。

  第16题,可以直接利用分步积分的方法。

  第17题,这个和数一的是完全一样的。

  第18题,和数一也是完全一样的。

  第19题,利用辅助函数不等式,两次求导以后利用单调性就可以证明。

  接下来看数三,从填空题、选择题,因为资料是不是准确的我自己有些地方还有点疑问,所以参考的答案因为很多同学其实还是非常关心的,所以我想仅仅是作为一个参考。

  第1题,可以看做幂指函数去求极限,这个答案应该是1.

  第2题,应该是2倍幂的三次方。

  第3题,算一算就可以。

  第4题,算一下B的行列式,相当于把右端的移过来两边一取行列式,这是我们平时做的时候大家遇到的比较多的情况,可以算出来。

  第5题,我算出来这个答案是九分之一,但是在不同的版本里均匀分布的区间不完全一样,所以这个答案是不是准确的大家仅仅做参考。

  第6题,样本方差是整体方差的无边无际,这是我们数率统计的基本性质,这个我算出来等于2.

  第7题,这个题没有必要用公式,直接用凹凸性可以算出来应该选择的是A.

  第8题,这也是我们在辅导的时候特别强调的一个隐含条件,所以就相当于是FO等于0了,这个答案应该是第3个。

  当然不同的试卷里头是不是按这个顺序排的,因为我不太好把握,所以大家也仅仅是作为一个参考,千万不要说你说的和我做的不一样就马上紧张了,很多同学很在意,所以我仅仅是提供一个参考。

  第9题,我们上课的时候讲过完全类似的,应该是第4个答案。

  第10题,相当于强调了微分方程解的结构,这个应该是第2个。

  第11题,这个题稍微有点难度,但是本质上条件极致,这个条件因为通过已知的假设相当于告诉我们隐含是存在的,所以可以通过AXY等于O找到Y是X的函数,再带到X里面去,直接求导为零,这是一个必要条件,因此我们再去选择四个答案,我认为正确答案应该是第4个D.

  第12题,实际上是涉及到相关和无关,我们辅导的时候也强调过转化为自然,这个在考研教育网学校的模拟题里面第三套模拟题第12题是完全类似的,这个我认为答案是A.

  第13题,这个题实际上是涉及到变换,我们辅导的时候强调三点,要求大家一定要掌握定义、性质与变换之间的关系,其实只要把这三点把握了,这个正确答案应该是第2个B.

  第14题,不同的版本里题不完全一样,所以这个地方我在搜狐网上下载的题我认为这个正确答案应该是A.

  第15题,实际上是一个求极限的问题,这是一个基础情况,最后求出来极限应该是派。

  第16题,这个是一个二重积分的基础题,比较简单,算出来的结果应该是九分之二。

  最后我们把这个答案我会放到考研教育网学校的网站上,这样这个题是怎么写的答案是怎么样的大家可以去对照,因为现在没有去炒这个题,所以跟自己的试卷是不是完全重新的可能有一点问题,所以大家仅仅参考一下。

  第17题,很简单。

  第18题,是微分方程,最后求出A,A应该是等于2.

  第19题,有一个小的处理技巧,这个我们讲课的时候也谈到了,如果大家把分母除一个2,分子乘一个2,把幂级数表达式里面应该提一个出来,先两次求导再两次积分,就可以求出来了。

  第20题,应该是一个基础题,应该说在平常的辅导也好、相应的教材也好见的都比较多,应该有两个答案,一个是0,一个是负4.

  第21题,刚才已经谈到了。这个时候是3、0、0,

  第22题,刚才已经谈到了,跟数一是类似的。

  第23题,也是跟数学一类似的。

  数四,第1、2、3和数三都是类似的。

  第4题,还比较凑巧,刚好和我们串讲讲的第一题是完全类似的,所以把A用阿尔法1、2来表示,两边一取行列式就出来了,算出来的结果应该是负2.

  第5题,是2.

  第6题,是九分之一。但是区间是0到3的均匀分布,网上是1到3,我想是1到3答案可能就有问题了。

  第7题、8题和数三都是完全对应的。

  这里面完全有差别的实际上是第9题和第13题,第9题是积分的不等式性质,这个题的答案应该是第4个D,不是第2个。

  第13题,这个比较简单,把这样一个条件概率写出来以后,选出来的答案是第3个。

  第15题、16题、17题、18题和数三是完全类似的。

  第19题,可以利用性质,没有必要用公式来做,直接可以把三个参数都计算出来。

  第20题、21题、23题和数三也是完全一样的,惟一有差别的是22题,我认为22题是比较好的综合题,这个把我们联合分布率的性质包括进来了,这个题因为在所有网站里面都没有具体的数据,所以算ABC等于多少我也没有办法去算,但是考数四的同学我建议大家看一下考研教育网学校最后我们四套模拟题数四的这套题,搜狐网上现在也可以找得到,刚好是我们数四相当于我们模拟题里头的最后一个题。

  这样我简单的把我们数一到数四的相关信息跟大家做一个交流,仅仅是交流,因为数据准确可能有一些问题,但是我们尽快把参考答案放在考研教育网学校的网页上,大家有兴趣可以直接到考研教育网学校的网站上去看一下。

  主持人:非常感谢黄老师,非常负责任的一再的告诉考生我们仅作为参考,到时候黄老师做好以后也给我们搜狐一份我们挂到网上去。刚才提到考研教育网学校的这四套卷,我们访谈结束后也可以挂到明显的位置上,方便考生。

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