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考研名师陈文灯、曹显兵指导考研数学复习

   2004-08-06 00:00 【 】【我要纠错

  问题集锦

  1.陈文灯总述04年考研数学

  2.2004年数学大纲变化与共性问题

  3.概率的复习要点

  4.高等数学复习要点

  5.线性代数复习要点

  6.冲刺阶段复习方法:做题还是看书?

  7.考场答题技巧

  陈文灯总述04年考研数学

  主持人:访谈正式开始,首先我介绍一下今天的访谈嘉宾,我们今天邀请到了陈文灯老师和曹显兵老师。今天我们的访谈是由陈文灯老师和曹显兵老师为大家讲解考研在此期间的相关问题。陈老师能否先从大的方向给考生们讲一下?

  陈文灯:我看网友们的问题和很多同学问的问题一样,说究竟是理工的数学难还是经济类的数学难。这个把我难住了,因为高数数学一、数学二比经济类的难,有人认为数学一一定比数学二难,其实不然。数学一因为考试的范围比较广,内容比较多,出题的自由度就比较大。数学二因为考的范围比较窄,去年就一元微积分和微分方程,今年新增加了多元微积分和重积分。这样一来的话,过去范围非常窄,没有宽度和广度所以就从深度上走,一元微积分所以考得难,但是今年范围广了,难度肯定就会降下来。多元函数微积分和重积分是必考无疑的,是考数学二的同学们要做好准备的地方。经济类的线性代数、概率数理统计,就比数学一、数学二难,这一点要有清醒的估计。我们考理工类的,可以看看过去经济类的线性代数、概率统计的试卷,从那里得到一些启发。经济类的可以看一看理工类的试卷中的高数部分,找那些与自己考纲中相适应的看一看。

  2004年数学大纲变化与共性问题

  主持人:请曹老师讲一下今年数学考研大纲有哪些变化以及一些共性的问题。

  曹显兵:各位考生好,今天有机会跟大家做个交流。今年新修订的大纲尤其是数学2增加了多元函数的微积分这是要注意的。高等数学没有变化,但是题型发生了变化,把6个选择题变成了8个,做了一个大的分解。所以同学们在选择题方面要注意了,历年来看选择题都是把二个以上的知识点综合起来考察。我们必须把基本的知识、概念结合起来才能顺利答题。我们看历年研究生考试70%的题都是基本的题,30%的题是中等难度以上。所以考生在复习的时候一定要注重基础知识,不要眼高手低,光做难题。要想得高分,必须把基础搞清楚。这三科有各种特点,高等数学运算性比较大,技巧性多一些。线性代数逻辑推理要多一些,尤其是跳跃性的东西,概率统计对实际运用要求多一些。概率统计方面考生会感觉题在理解方面有困难,而线性代数和微积分不存在这个问题。所以我们在复习的时候要针对各门课的特点来采取办法。

  比如概率统计的时候,你平常在复习的时候就要把这个课程惯用的语言理解了。比如绩事件的概率、条件概率、和事件的概率还有一个绝对概率,这些都是不同的概念,我们平常复习的时候要准确地把握这些概率。你只有准确地理解了题,你的解答才会正确,否则会引起错误。

  线性代数的话,各个章节之间的联系非常紧密,很难在某一单独的章考一个题,把信息方程组、特等值、特等向量等等都可以列在一起出题。所以考察的是考生对线性代数是否完全掌握了,所以同学们复习线性代数一定要有一个整体感。高等数学是内容最多的一部分,也使考生感到学了后面忘了前面。所以这部分要把握重点,通过复习加深印象。

  同学们1月份就要考试了,在短短的两个月时间里,在数学方面不能停下来,比如一两个礼拜不去复习数学,那是不行的。我建议同学们至少一周做一套历年的考试题或者模拟题,通过做题一是检查自己复习达到了什么样的水平,另一方面要找自己的漏洞,看看自己还有哪些知识点没有掌握。进行几轮反复,这个知识点你就熟悉了,那么领考的时候你拿着这个题就会想到用什么方法解决它,就是形成思维定式,这样就使得我们可以迅速、准确地把题做出来,靠出有益的成绩。关于高等数学方面具体的问题下面请陈老师给大家谈。

  概率的复习要点

  网友:概率的公式、概念比较多,怎么记?

  曹显兵:我们看这样一个模型,这是概率里经常见到的,从实际产品里面我们每次取一个产品,而且取后不放回去,就是日常生活中抽签抓阄的模型。现在我说四句话,大家看看有什么不同,第一句话“求一下第三次取到十件产品有七件正品三件次品,我们每次取一件,取后不放回”,下面我们来求四个类型,第一问我们求第三次取得次品的概率。第二问我们求第三次才取得次品的概率。第三问已知前两次没有取得次品第三次取到次品。第四问不超过三次取到次品。大家看到这四问的话我想是容易糊涂的,这是四个完全不同的概率,但是你看完以后可能有很多考生认为有的就是一个类型,但实际上是不一样的。

  先看第一个“第三次取得次品”,这个概率与前面取得什么和后面取得什么都没有关系,所以这个我们叫绝对概率。第一个概率我想很多考生都知道,这个概率应该是等于十分之三,用古代概率公式或者全概率公式求出来都是十分之三。这个概率改成第四次、第五次取到都是十分之三,就是说这个概率与次数是没有关系的。所以在这里我们可以看出,日常生活中抽签、抓阄从数学上来说是公平的。

  拿这个模型来说,第一次取到和第十次取到次品的概率都是十分之三。下面我们再看看第二个概率,第三次才取到次品的概率,这个事件描述的是绩事件,这是概率里重要的概念,改变表示同时发生的概率。但是这个与第三次的概率是容易混淆的,如果表示的可以这样表述,如果用A1表示第一次取到次品,A2表示第二次取到次品,A3是第三次取到次品。

  如果A表示第一次不取到次品,B表示第二次不取到次品,C表示第三次不取到次品,求ABC绩事件发生的概率。第三问表示条件概率,已知前两次没有取到次品,第三次取到次品P(C|AB),第三问求的就是一个条件概率。我们看第四问,不超过三次取得次品,这是一个和事件的概率,就是P(A+B+C)。从这个例子大家可以看出,概率论确实对题意的理解非常重要,要把握准确,否则就得不到准确的答案。

  网友:概率的数理统计要怎么复习?什么叫几何型概率?

  曹显兵:几何型概率原则上只有理工科考,是数学一考察的对象,最近两年经济类的大纲也加进来了,但还没有考过,数学三、数学四的话虽然明确写在大纲里,还没有考。明年是否可能考呢?几何概率是一个考点,但不是一个考察的重点。我个人认为一是它考的可能性很小,如果考也是考一个小题,或者是选择题或者是填空题或者在大题里运用一下概率的模式,就是一个事件发生的概率是等于这个事件的度量或者整个样本空间度量的比。这个度量的话指的是面积,一维空间指的是长度,二维空间指的是面积,三维空间指的是体积。所以几何概率指的是长度的比、面积的比和体积的比。重点是面积的比,是二维的情况。

  几何概率其实很简单,是一个程序化的过程,按这四个步骤你肯定能做出来。第一步把样本空间和让你求概率的事件用几何表示出来。第二步既然是几何概率那就是图形,第二步把几何图形画出来。第三步你就把样本空间和让你求概率的事件所在的几何图形的度量,就是刚才所说的面积或者体积求出来。第三步代公式。以前考过的几何概率的题度量的计算都是用初等的方法做,我推测下次考的话,可能会难一点的。比如说用意项,面积可能用到定积分或者重积分计算,把概率和高等数学联系起来。

  关于第二个问题,概率统计怎么复习,今年的考试分配很不正常,明年不会是这样的情况。我想明年数学一(统计)应该考一个八、九分的题是比较适中的。从今年考试中心的样题统计这一块是九分。数学三(统计)应该八分左右,统计这一块大家不要放弃,明年可能会考,分数应该是八、九分的题。至于复习,它的内容占了四分之一的样子。 但是这一部分的题相对于概率题比较固定,做题的方法也比较固定,对考生来说比较好掌握,但这部分考生考得差,可能很多学校没有开这门课,或者开的话讲得比较简单,所以一些同学没有达到考试的水平。其实这部分稍微花一点时间就可以掌握了。主要就是这几块内容一是样本与抽样分布,就是三大分布搞清楚,把他们的结构搞清楚,把统计上的分布搞清楚。

  然后是参数估计、矩估计、最大似然估计、区间估计、三种估计方法,三个评价标准,无偏性、有效性、一致性,重点是无偏性的考查,因为它是期望的计算,其次是有效性。一致性一般不会考,考的可能性很小。这三种估计方法重点也是前面两种,矩估计、最大似然估计,区间做了限制,考了很少,历年考试的情况也就是代代公式。

  最后一部分是假设检验这部分,这一部分我个人推测明年有可能考一个概念性的小题。 一是了解U检验统计量、T检验统计量、卡方检验统计量,把这三个检验统计量的分布搞清楚。另外假设检验的思想和四个步骤了解一下就可以了。我想这部分考生少花一点时间,统计这个题是没有问题的,重点就是参数估计,就是三种估计方法,三个评价标准,重点在那个地方。

  陈文灯谈高数复习要点

  主持人:刚刚有些学生问数学没什么把握,但想考个高分要在哪些部分下工夫?好象高数部分大题是全卷的难点,您能否说一下高数如何复习能抓住分?

  陈文灯:数学要考高分首先要明确数学要考些什么。我个人的理解和看法数学主要是考四个方面,一个考基础,包括基本概念、基本理论、基本运算,数学本来就是一门基础的学科,如果基础、概念、基本运算不太清楚,运算不太熟练那你肯定是考不好的。所以基础一定要打扎实。

  我觉得高数的基础应该着重放在极限、导数、不定积分这三方面,后面当然还有定积分、一元微积分的应用,还有中值定理、多元函数、微分、线面积分等等内容,这些内容可以看着刚才我所说的三部分内容的联系和应用,这就是它的基础。

  数学要考的第二部分就是简单的分析综合能力。因为现在高数中的一些考题很少有单纯考一个知识点的,一般都是多个知识点的综合。还有一个就是数学的建模能力,也就是解应用题的能力。解应用题这方面就比较不好说了,因为它要求的知识面比较广了,包括数学的知识比较要扎实,还有几何、物理、化学、力学等等这些好多知识。当然它主要考的就是数学在几何中的应用,在力学中的应用,在物理中的吸引力、电力做功等等这些方面。数学要考的第四个方面就是你的运算的熟练程度,换句话说就是你解题的速度。如果能够围绕着这几个方面进行复习,数学考高分我想还是完全可能的。

  从一些研究生介绍的经验来看,他们也都是这样做的。说到解题速度,我个人认为一个方面在头脑中应该储存着一些最基本的运算结果。比方说A的平方减X平方,开平方,圆在零至A上的积分就等于四分之πA的平方。 还有就是我们有些最基本的一些公式,像SinX的n次方在零到二分之π上,其结果当N是奇数的时候,当N是偶数的时候它们的结果马上就知道。再比方函数像LogX加上根号A平方减X平方括号它的导数,我们马上就应该知道,就是等于根号A平方加X平方分之一,这个应该马上就知道,免得再去计算。再比如常用的变量替换要记住,还有就是常用的一些辅助函数的做法要记得非常牢。所以脑子中有这些基本的储存,到时候做题就快了。

  当然了最重要的是平时还是要多加训练,我觉得有的同学就认为现在数学应该放一放,该看看其他的学科了。这种做法是不对的!数学应该一抓到底,应该经常练,一天至少保证三个小时。把我们平时讲的一些概念、定理、公式复习好,牢牢地记住。同时数学还是一种基本技能的训练,像骑自行车一样。尽管你原来骑得非常好,非常溜,但是你长时间不骑,你再骑总有点不习惯。所以经常练习是很重要的,天天做、天天看,一直到考试的那一天。这样的话,就绝对不会生疏了,解题速度就能够跟上去。

  主持人:多元函数微积分是新增加的知识点,您能否讲讲这一块应该怎样复习?网友也在问二重积分如何复习?

  曹显兵:函数微积分因为是第一年增加,所以都会考最基本的内容,像线性代数增加的时候第一年考是求具体的三节矩阵的特定值。所以二层积分今年初次考,比如二级积分交换基本次序,这个你一定要会。积分的区域要画出来,各级函数画清楚,根据积分类型确定积分顺序,确定积分线。

  二层积分首先你要确定是X积分还是Y积分,你在这个区域画一条线,如果是X积分你做一条平行X轴的射线穿过这个区域。穿进就是积分的下限,穿出就是积分的上限。一般把这个基本原则掌握了,考试就不会有问题了。

  线性代数复习要点

  主持人:刚刚咱们谈了概率问题,两位老师能否讲讲线性代数。(网友:尤其是线性的解数,一长串,太抽象了,怎么复习?)刚才曹老师在讲线代的时候也讲了一个复习的整体感,那么怎么培养整体感?

  曹显兵:线性代数各个章节之间联系非常紧密,行列式、矩阵、向量是一环扣一环的,这个东西的中心是什么?行列式这部分没有什么东西,大家知道行列式主要就是行列式的意义、性质等等,重点就是行列式的展开,行列式的R方展开,这个问题就是重要的公式。一个矩阵A乘上A的伴随矩阵等于A的行列式乘以单位阵,这个公式是我们行列式R方矩阵展开的方式。每一章节都有联系,所以复习的时候要把章节的重点把握住。

  行列式没有什么东西,第二章矩阵,矩阵是一个基础,关联到整个线代,所以矩阵的运算非常重要,尤其不要做非法的运算。因为大家习惯了数的运算,在做矩阵运算的时候容易受到数的影响,所以这个地方大家要把它搞清楚。矩阵运算里一个很重要的就是初等变换。我们在解方程组,求特征向量都离不开的东西。这是我们矩阵部分的重点。

  向量这部分是逻辑性非常强的部分,也是大家感到比较困难的,这部分的逻辑推理很强,大家一定要非常熟悉那些教材里重要的定理拿到一个题马上要能反映过来。比如说这样一个定理很多考生都觉得这个定理比较难,其实可以形象地记。当然第一个向量组由第二个向量组表示,第二个向量组线性无关,可以推出第一个向量组含向量的个数小于第二个向量组含向量的个数。这个定理多次考了,2003年单独考了这个题,是一个选择题。其实这个题大家可以换一种方式记一下,比如我习惯这样记,就是说一个线性无关的向量组不可能有一个比他的个数还少的向量组的线性表示,这句话就表示了我们前面的定理。它的几何直观就是指一个高维空间的东西不能放到低维空间,至少放到同维空间。比如一个立体的东西是放不到一个平面中去的,放不到一个直线上去的。你这样把几何直观理解后,这个定理就不会记错了。

  方程组中,解的判定、解的性质、解的结构这三部分要搞清楚,再一个就是特征值和特征向量,对于特征值对具体的你可以解一个具体的方程好了。特征向量就是求齐次方程组的基础解系,你前面基础打牢了,这里又不是新的内容。二次型的内容,对于只考数学一、数学三的同学,二次型只要把其矩阵对应写出来,其问题都可以转化为对称矩阵的对角型来讨论。所以后面的内容又联系上前面的东西。把前面的基础打牢,后面的知识自然就掌握了。

  陈文灯:还是线性代数碰到解析的问题,有时候是把矩阵的问题化成线性方程组来做,有时候是把线性方程组的问题化成矩阵来解决。如果在解题过程中提到了某一个向量是另一个向量,我们就可以把这一另一向量用单位向量来替代,这样就可以很快得出结果。再一点就是方阵的特征值和特征向量,这一点广大的考研学者一定要注意,这是我们线性代数重点的重点,每年一定要在这里面出大题。

  冲刺阶段复习方法:做题还是看书?

  网友:在这个期间进行复习的时候是做题比较重要还是看书比较重要?

  陈文灯:书是我和黄先开、曹显兵、施明存我们四个人写的。我们写这个书的时候,大家是比较认真的,是抱着对读者负责的精神来写的,也是我们多年经验的总结。所以我个人认为不管怎么样你把这本书真正吃透了,不敢说让你考满分,因为考高分有多种因素。吃透这本书,最起码考到一百分以上我觉得是问题不大的,这种说法是毫不夸张的。

  刚才说了书中的内容就是大纲要求的非常重点的内容,一定要抓住。最后是不是埋头做题的问题,我有我的看法,想靠多做题撞上考题我觉得不太可能,重要的是抓重点、抓题型,要以题型为纲,这是非常重要的。最后阶段怎么办?我们写了《临考演习》,前面六份题自己做一做,给自己打一下分,检验一下自己究竟学得怎么样。对那些自己感到非常生疏,好象从来也没有见过面的题,是不是应该多花点时间,自己做一做跟我们上面的解答对一对,如果你做错了。 你查找一下原因。后面的九套题同学们如果没有时间的话,是不是可以像看小说一样地看,对于那些已经非常熟悉的题,那就PASS过去。对那些没有见过面的的新面孔是否多花点时间多花点精力做一做。看看哪些方面做错了。特别是自己犯过错误的题打上记号,临考之前多看几眼,这是很重要的。如果能把这四、五套题都做好了,这几套题的涵盖面还是非常广的。

  主持人:不是每个人都有机会来听曹老师和陈老师的课,也不是人手一本书,您能否给这些同学一些比较好的建议。就是在这个阶段应该注意哪些问题?

  陈文灯:现在离考试只有两个多月,时间是很紧迫的,首先我觉得我们应该合理、科学地安排一下时间。我个人建议同学们至少每天挤出三个小时看书。当然越是临考政治、英语这些背的课程也要抓紧。如果你把时间都给了数学,数学考得再好也没用的。其他课也应该想办法达到录取的分数线,这方面的教训我不想在这里说了,但是事实上是非常多的。我们中央财政大学有很多同学数学考得非常好,当时百分制的时候,很多同学数学都考九十多分,但是专业课没考好,名落孙山,失去了继续深造的机会。所以科学、合理地安排好复习的时间,让每一科都能够得到灌溉,那么最后才有收获,这还是很重要的。

  考场答题技巧

  陈文灯:对一些可能没有机会听到我们串讲的同学们说一下,要想考好数学,你首先要有信心,如果看过我们的辅导书,如果平时比较注意,基础还可以的话,你放心绝对不会考得太差。所以信心很重要,只有有信心才能考好试,一定要有雄赳赳,气昂昂走向考场的状态。拿到试卷以后,我个人认为不要急急忙忙做题,应该先浏览一下整张卷子,看哪些题是我们平时复习过的,很熟悉的题,肯定有这样的题。如果没有的话,那么我们的辅导就失败了。我建议看完了以后,先做填空题,填空题难不到哪里去,一般都是考基本概念、基本运算、基本理论。

  做完了填空题,按照试卷的排序是单项选择题,单项选择题中你觉得很容易的,你也可以先做,但是单项选择题中往往有一些题概念性非常强,有些题是不好对付的。这些不好对付的题就先放过去,做后面的计算题。有的证明题如果你太熟悉了,当然也可以先做。但是有一点,你不做便罢,要做一定做对。不要东做一点西做一点,最后好象整张卷子你都做了,得到的分数却非常少。就像谷穗一样,谷穗很长,但谷子很少,其实也没有多少东西。而很多短谷穗长满了谷子,东西也很多。很多同学之所以没考好就是因为贪多嚼不烂。我个人认为如果到现在数学某些方面还没有完全吃透,像统计部分,统计部分充其量也就九分,那这九分如果你确实没有太大的把握,我干脆就扔掉。有所舍才有所得,这是非常重要的。

  主持人:很多人问应用题、证明题怎么准备,有人认为证明题不太好准备。

  陈文灯:我简单地说一下吧。比方说这样的题型,如果给定的函数是幂指函数,在运算之前,我们就应该把幂指函数利用对数恒等式处理一下。然后再做运算,比方说我们讲极限中一种重要的极限,1的无穷次方,这种极限那是一定要考的。这种极限怎么做呢?假设在自变量的一定变化趋势下,FX的极限是零,GX的极限是无穷,那么1加上FX(GX次方)它的极限,这样函数是幂值函数了,我们变化一下,底下就变成了e,上面是GX乘以LOG(1+FX)的对数。像这样的根据对数等价无穷小代换就可以写成eFX乘以GX的极限,得出的结果就是这样。再比如说求导数、求积分,种种运算你都应该利用对数恒等式处理一下,然后再做运算。

  再比如研究生考试考的一种不定积分的形式,被积函数含有对数函数反三角函数的积分,这类题一般按照下面的三步那肯定就搞定了,第一步就是把对数函数反三角函数求导看它是否是另外一部分的常数倍,是的话,把另外一部分就写成对数函数反三角函数微分的形式,那么也就是用错位法解决掉了。

  如果用错位法解决不掉,那么马上就进入分步计划,那也就是说把不含对数函数反三角函数这部分作为积分,把对数函数反三角函数作为分布积分中的UX也就是求导对象,把它求导,这样用分步法解决。如果用分步法还解决不了,那么我们就用变量替换法,变量替换法这里要注意的是要大手笔,不要小里小气,要定的话就让整个对数函数反三角函数定一个变量。

  主持人:谢谢陈老师,也谢谢曹老师,很高兴今天能请到两位老师为大家讲解考研的相关问题。随后我们会把访谈的内容整理发到网上,也请大家关注。谢谢两位老师。

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