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复旦大学05年数学分析与线性代数课程考试大纲

   2004-12-05 00:00 【 】【我要纠错

  数学分析(70%,总分105分)

  考试题型:判断说明理由、简答、计算和证明

  参考书目:《数学分析》欧阳光中等,上海科技出版社或《数学分析》陈纪修,金路等,高等教育出版社

  一、极限与连续

  内容:

  映射与函数;数列的极限、函数的极限;实数系的连续性、连续函数、一致连续;Rn中的点集、多元函数的极限与连续;函数和连续函数的各种性质。

  要求:

  理解集合、映射、函数、极限、连续、一致连续等概念;理解极限和连续的有关性质和定理;掌握求数列和函数极限的各种方法;掌握连续性、间断性的判别方法。

  二、微分与导数

  内容:

  微分的概念、导数的概念、微分和导数的意义;全微分和偏导数的概念;求导运算;微分运算;微分中值定理;洛必达法则、泰勒公式;最值和极值。

  要求:

  理解微分和导数的概念、关系、几何意义和性质;掌握求微分和导数(一阶和高阶,一元和多元,隐函数,复合函数)的各种方法;理解和应用微分中值定理;掌握各种最值和极值的求法(一元和多元,条件极值);判断函数的凹凸性;求空间曲面的切平面和空间曲线的切线。

  三、一元和多元函数的积分

  内容:

  定积分的概念、性质和微积分基本定理;不定积分和定积分的计算;定积分的应用;重积分的概念及其性质、重积分的计算;曲线积分和曲面积分;反常积分的定义和判别。

  要求:

  理解定积分的概念、性质、意义和微积分基本定理,理解黎曼积分概念,并能灵活应用;掌握不定积分和定积分的各种计算方法(换元法、分部积分、有理函数积分);掌握用定积分计算几何量和物理量的方法;理解二重和三重积分的概念和性质,掌握二重和三重积分的计算方法;掌握曲线积分和曲面积分概念及计算;掌握反常积分收敛性的讨论和判别方法。

  四、级数

  内容:

  数项级数、数项级数的判别法;级数的绝对收敛和条件收敛;函数项级数的收敛和一致收敛及其性质、收敛性的判别;幂级数及其性质、泰勒级数和泰勒展开。

  要求:

  理解级数收敛、发散、一致收敛的概念;掌握级数收敛的判别方法(绝对收敛、条件收敛、一致收敛);掌握幂级数收敛半径和收敛区间的判别方法,并能利用幂级数的性质求和函数;掌握基本初等函数的泰勒展开。

  线性代数(30%,总分45分)

  考试题型:判断说明理由、简答、计算和证明

  参考书目:《线性代数》孙兰芬,陈一中,浙江大学出版社

  一、行列式

  内容:

  行列式的定义和性质;Cramer法则;子式与代数余子式;按一行(列)展开定理;Laplace定理。

  要求:

  掌握行列式的概念和性质,熟练应用行列式的性质计算行列式,并会用行列式求解线性方程组。

  二、矩阵

  内容:

  矩阵的概念和运算;常用的特殊矩阵;矩阵的初等变换与初等矩阵;可逆矩阵以及性质;矩阵的秩等概念。

  要求:

  掌握矩阵和秩的概念;能熟练地进行矩阵的各种运算(加、减、数乘、乘、求逆、分块矩阵运算等);会求逆阵和矩阵的秩。

  三、线性方程组

  内容:

  n元向量的线性关系;线性方程组的解和解的结构。

  要求:

  掌握向量的线性关系(组合与等价、线性相关与线性无关、极大线性无关组)等概念,能熟练应用矩阵来求解或讨论线性方程组的解。

  四、线性空间与欧氏空间

  内容:

  线性空间的概念(定义和性质);基、维数和坐标;欧氏空间的定义及其基本性质;子空间的交、和、直和及正交。

  要求:

  掌握线性空间、基和维数、子空间的概念;理解线性空间的基和坐标的关系,基变换和坐标变换的关系;掌握内积空间特别是欧氏空间的概念,掌握正交基和Schmidt方法。

  五、线性变换

  内容:

  线性变换的定义、性质及运算;线性变换的矩阵及在不同基下的矩阵间的关系;特征值与特征向量;矩阵的对角化;对称变换和正交变换。

  要求:

  掌握线性变换,特征值和特征向量的概念;掌握线性变换和矩阵的相互关系;掌握正交变换和对称变换;掌握凯莱-哈米尔顿定理;能熟练地求特征值和特征向量。

  六、二次型

  内容:

  二次型的基本概念:惯性定理;正定二次型。

  要求:

  掌握二次型和矩阵的关系,学会用矩阵方法来处理二次型的问题;掌握惯性定理和正定二次型。

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