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线性代数知识点框架(四)

分享者   2010-06-04 14:21 【 】【我要纠错

  在之前研究线性方程组的解的过程当中,注意到矩阵及其秩有着重要的地位和应用,故还有必要对矩阵及其运算进行专门探讨。

  矩阵的加法和数乘,与向量的运算类同。

  矩阵的另外一个重要应用:线性变换(最典型例子是旋转变换)。即可以把一个矩阵看作是一种线性变换在数学上的表述。

  矩阵的乘法,反映的是线性变换的叠加。如矩阵A对应的是旋转一个角度a,矩阵B对应的是旋转一个角度b,则矩阵AB对应的是旋转一个角度a+b。

  矩阵乘法的特点:若C=AB,则C的第i行、第j列的元素是A的第i行与B的第j列的元素对应乘积之和;A的列数要和B的行数相同;C的行数是A的行数,列数是B的列数。需要主义的是矩阵乘法不满足交换律,满足结合律。

  利用矩阵乘积的写法,线性方程组可更简单的表示为:Ax=b。

  对于C=AB,还可作如下分析:将左边的矩阵A写成列向量组的形式,即意味着C的列向量组能由A的列向量组表示,从而推知C的列秩小于等于A的列秩;将右边的矩阵B写成行向量组的形式,即意味着C的行向量组能由B的行向量组表示,从而推知C的行秩小于等于B的行秩,再考虑到矩阵的行秩等于列秩等于矩阵的秩,最终可得到结论,C的秩小于等于A的秩,也小于等于B的秩,即矩阵乘积的秩总不超过任一个因子的秩。

  关于矩阵乘积的另外一个重要结论:矩阵乘积的行列式等于各因子的行列式的乘积。

  一些特殊的矩阵:单位阵、对角阵、初等矩阵。尤其要注意,初等矩阵是单位阵经过一次初等变换得到的矩阵。

  每一个初等矩阵对应一个初等变换,因为左乘的形式为PA(P为初等矩阵),将A写成行向量组的形式,PA意味着对A做了一次初等行变换;同理,AP意味着对A做了一次初等列变换,故左乘对应行变换,右乘对应列变换。

  若AB=E,则称A为可逆矩阵,B是A的逆阵,同样,这时的B也是可逆矩阵,注意可逆矩阵一定是方阵。

  第一种求逆阵的方法:伴随阵。这种方法的理论依据是行列式的按行(列)展开。

  矩阵可逆,行列式不为零,行(列)向量组线性无关,满秩,要注意这些结论之间的充分必要性。

  单位阵和初等矩阵都是可逆的。

  若矩阵可逆,则一定可以通过初等变换化为单位阵,这是不难理解的,因为初等矩阵满秩,故最后化成的阶梯型(最简形)中非零行数目等于行数,主元数目等于列数,这即是单位阵。进一步,既然可逆矩阵可以通过初等变换化为单位阵,而初等变换对应的是初等矩阵,即意味着:可逆矩阵可以通过左(右)乘一系列初等矩阵化为单位阵,换言之可逆矩阵可看作是一系列初等矩阵的乘积,因为单位阵在乘积中可略去。

  可逆矩阵作为因子不会改变被乘(无论左乘右乘)的矩阵的秩。

  由于可逆矩阵可以看作是一系列初等矩阵的乘积,可以想象,同样的这一系列初等矩阵作用在单位阵上,结果是将这个单位阵变为原来矩阵的逆阵,由此引出求逆阵的第二种方法:初等变换。需要注意的是这个过程中不能混用行列变换,且同样是左乘对应行变换,右乘对应列变换。

  矩阵分块,即可把矩阵中的某些行和列的元素看作一个整体,对这些被看作是整体的对象构成的新的矩阵,运算法则仍然适用。将矩阵看成一些列行向量组或列向量组的形式,实际也就是一种最常见的对矩阵进行分块的方式。

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