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考研数学矩阵乘法复习指导

考研教育网论坛   2009-08-14 09:02 【 】【我要纠错

  尽管矩阵乘法不满足交换律。但是,矩阵乘法在多方面的成功应用,令人感到很惬意。

  1.若A,B都是n阶方阵,则|AB|=|A||B|。

  我们知道,|A+B|难解。相比之下,乘积算法复杂得多,而积矩阵行列式公式却如此简明,自然显示了矩阵乘法之成功。

  特别地,如果AB=BA=E,则称B是A的逆阵;或说A与B互逆。

  A*是A的代数余子式按行顺序转置排列成的。之所以这样做,就是恰好有(基本恒等式)AA*=A*A=|A|E,顺便有|A|≠0时,|AA*|=||A|E|,故|A*|=|A|的n-1次方。

  2.对矩阵实施三类初等变换,可以通过三类初等阵分别与矩阵相乘来实现。“左乘行变,右乘列变。”给理论讨论及应用计算机带来很大的方便。

  3.分块矩阵乘法,形式多样,内函丰富。

  要分块矩阵乘法可行,必须要在“宏观”与“微观”两方面都确保可乘。

  AB=A(b1,b2,——,bs)=(Ab1,Ab2,——,Abs)

  宏观可乘:把各分块看成一个元素,满足阶数规则(1×1)(1×s)=(1×s).

  微观可乘:相乘的子块都满足阶数规则。(m×n)(n×1)=(m×1),具体如,Ab1是一个列向量

  AB=0的基本推理

  AB=0,即(Ab1,Ab2,——,Abs)=(0,0,——,0)

  →B的每一个列向量都是方程组Ax=0的解。

  →B的列向量组可以被方程组Ax=0的基础解系线性表示。

  →r(B)≤方程组Ax=0的解集的秩=n-r(A)→r(B)+r(A)≤n.

  :已知(n维)列向量组a1,a2,——,ak线性无关,A是m×n阶矩阵,且秩r(A)=n,试证明,Aa1,Aa2,——,Aak线性无关

  分析设有一组数c1,c2,——,ck,使得c1Aa1+c2Aa2+——+ckAak=0.

  即A(c1a1+c2a2+——+ckak)=0.

  这说明c1a1+c2a2+——+ckak是方程组Ax=0的解。

  但是,方程组Ax=0的解集的秩=n-r(A)=0,方程组Ax=0仅有0解。

  故c1a1+c2a2+——+ckak=0由已知线性无关性得常数皆为0.

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