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考研数学线性代数复习建议

论坛   2011-09-19 09:15 【 】【我要纠错

  研究生入学考试中,线性代数考试题型不多,计算方法比较初等,但是往往计算量比较大,导致很多考生对线性代数感到棘手。从理论的角度出发,线性代数的很多概念和性质之间的联系很多,特别是每年线性代数的两道大题考试内容,所涉及到的概念与方法之间需要考生着重掌握。从目前阶段来看,考生在复习过程中,跨考教育数学教研室李擂老师给广大考生提出四点复习建议:

  1.理解与把握基本概念,熟练运用基本运算

  线性代数的概念很多,重要的有:代数余子式,伴随矩阵,逆矩阵,初等变换与初等矩阵,正交变换与正交矩阵,秩(矩阵、向量组、二次型),等价(矩阵、向量组),线性组合与线性表出,线性相关与线性无关,极大线性无关组,基础解系与通解,解的结构与解空间,特征值与特征向量,相似与相似对角化,二次型的标准形与规范形,正定,合同变换与合同矩阵。

  线性代数中运算法则多,应整理清楚不要混淆,基本运算与基本方法要过关,重要的有:行列式(数字型、字母型)的计算,求逆矩阵,求矩阵的秩,求方阵的幂,求向量组的秩与极大线性无关组,线性相关的判定或求参数,求基础解系,求非齐次线性方程组的通解,求特征值与特征向量(定义法,特征多项式基础解系法),判断与求相似对角矩阵,用正交变换化实对称矩阵为对角矩阵(亦即用正交变换化二次型为标准形)。

  2.网状化知识结构,提高综合分析能力

  线性代数从内容上看纵横交错,前后联系紧密,环环相扣,相互渗透,因此解题方法灵活多变,复习时应当常问自己做得对不对,再问做得好不好。只有不断地归纳总结,努力搞清内在联系,使所学知识融会贯通,接口与切入点多了,熟悉了,思路自然就开阔了。

  文章开头提到了历年真题中,两道大题考试内容。考生应注意掌握知识点间的联系与区别,例如向量组的秩与矩阵的秩之间的联系,向量的线性相关性与齐次方程组是否有非零解之间的联系,向量的线性表示与非齐次线性方程组解的讨论之间的联系,实对称阵的对角化与实二次型化标准形之间的联系等。灵活掌握他们之间的联系与区别,对做线性代数的两个大题在解题思路和方法上会有很大的帮助。

  3.加强逻辑性,正确简明叙述表述

  线性代数对于抽象性与逻辑性有较高的要求,通过证明题可以了解考生对数学主要原理、定理的理解与掌握程度,考查考生的抽象思维能力、逻辑推理能力。大家复习整理时,应当搞清公式、定理成立的条件,不能张冠李戴,同时还应注意语言的叙述表达应准确、简明。

  4.综合掌握“一条主线,两种运算,三个工具”

  复习过程中,综合掌握“一条主线,两种运算,三个工具”。一条主线是解线性方程组,线代概念非常多而且相互联系,但线代贯穿的主线求方程组的解,只要将方程组的解的概念和一般方法理解透彻,再回过头看前面的内容就非常简单。两种运算是求行列式、矩阵的初等行(列)变换,三个工具是行列式、矩阵、向量。其中,向量组线性相关性是难点,要理解记忆各条定理,理清其中关系,多做题巩固知识点。特征向量与二次型虽不难,但年年必考,计算能力要跟上,多做题才能提高正确率。

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