您的位置:考研教育网>  > 考研数学 > 复习指导 正文

2011考研数学考查知识点预测之罗尔定理

考研教育网   2010-12-31 10:34 【 】【我要纠错

  一、罗尔定理如果函数f(x)满足

  (1)在闭区间[a,b]上连续;(2)在开区间(a,b)内可导;(3)在区间端点处的函数值相等,即f(a)=f(b),那么在(a,b)内至少有一点 ,使得[考点一] 通过对罗尔定理的分析,我们可以得到这样的推广即 在 上有n阶导数,在n+1个点上函数值相等, ,则至少存在一点 使「例1.证明题」若函数f(x)在(a,b)内具有二阶导数且 其中 证明:在 内至少有一点 使得分析:f(x)在[x1,x2], [x2,x3]上满足罗尔定理条件,因此存在f'(ξ1)=0, f'(ξ2)=0在[ξ1,ξ2]上对于f'(x)再用罗尔定理,即有f"(ξ)=0证明:f(x)在(a,b)上有二阶导数,因此f'(x),f(x)都存在且连续,又有f(x1)= f(x2)=f(x3)

  因此f(x)在[x1, x2] , [x2, x3]上满足罗尔定理条件故 , 使f'(ξ1)=0,f'(ξ2)=0于是f'(x)在[ξ1,ξ2]上满足罗尔定理条件故 使得f''(ξ)=0「例2.证明题」(07年数学一(19)题)

  设函数 , 在[a,b]上连续,在(a,b)内具有二阶导数,且存在相等的最大值 , 证明:存在 使得分析:证明f"(ξ)= g"(ξ),即证f"(ξ)- g"(ξ)=0考虑函数φ(x)=f(x)-g(x),也就是证明φ"(ξ)=0根据已知φ(a)= φ(b)=0,那么由推广的罗尔定理只要再找到一点η∈(a,b), 使φ(η)=0即得结论。

  证明:考虑函数φ(x)=f(x)-g(x),由于f(x),g(x)在(a,b)内有二阶导数,从而φ'(x),存在且连续。又f(x),g(x)在[a,b]连续,从而φ(x)在[a,b]连续。

  从而φ(x)在[a,b]连续,且φ(a)= φ(b)=0由于f(x),g(x)有相同的最大值,设此值为M即有 使f(x1)=M使g(x2)=M于是 φ(x1)= f(x1) -g(x1)=M- g(x1)≥0φ(x2)= f(x2) -g(x2)=f(x2)-M≤0若φ(x1)=0(或φ(x2)=0)则取η=x1(或取η=x2)有φ(η)=0 η∈(a,b)

  若φ(x1)>0, φ(x2)0 故F(η)=0由于f(x)在[0, π]连续,则F(x)在[0, π]可导,在[0, η],[η, π]上对F(x)用罗尔定理,则 , 使F'(ξ1)=F'(ξ2)=0,也就是f(ξ1)=f(ξ2)=0.「例4.证明题」(95年考题)

  设函数f(x)和g(x)在[a,b]上存在二阶导数,并且g''(x)≠0 f(a)=f(b)=g(a)=g(b)=0 试证(1)在开区间(a,b)内g(x)≠0(2)在开区间(a,b)内 至少存在一点ξ使(1)分析:一般象这种出题方式通常采用反证法,假设在(a,b)内g(x)有零点,由已知g(a)=g(b)=0.则g(x)有三个零点,又g''(x)存在。因此由推广的罗尔定理,将存在ξ ,使g''(ξ)=0与g''(x)≠0矛盾。

  证明: 用反证法 假设 使g(c)=0由于g(x)在[a,b]上存在二阶导数,因此在[a,b]上g'(x)与g(x)都连续可导,又g(a)=g(c)=g(b)=0.于是在[a,c],[c,b]上对g(x)用罗尔定理。

  , 使g'(ξ1)=0 , g'(ξ2)=0又在[ξ1 ,ξ2]上对g'(x)用罗尔定理使g''(ξ)=0 与 g"(x)≠0矛盾,故在(a,b)内g(x)≠0(2)分析:证明 即证f(ξ)g"(ξ)- f"(ξ)g(ξ)=0也就是f(x)g"(x)- f"(x)g(x)在(a,b)内有零点。

  由已知只知道二阶导存在,并没有说二阶导连续,因此无法用连续函数的零点存在定理,我们考虑找它的原函数,把函数的零点存在问题,转化为它的原函数存在导数为零的点的问题,现在的问题是找f(x)g"(x)- f"(x)g (x)的原函数,如果观察力强,我们可直接找到。

  f(x)g"(x)- f"(x)g (x)=[ f(x)g' (x)- f'(x)g (x)]'如果观察不出来,我们可通过积分求出原函数。

  也就是:证明: f(x)g"(x)- f"(x)g(x)有原函数φ(x)=f(x)g'(x)- f'(x)g(x)

  由已知φ(x)在[a,b]可导,且φ(a)=φ(b)=0由罗尔定理。 ,使φ'(ξ)=0即f(ξ)g"(ξ)- f"(ξ)g(ξ)=0由(1)知g(ξ)≠0,于是有

◇ 编辑推荐
·2015年考研复习:政治 英语 数学  专业课 · 2014年考研真题及答案汇总   历年考研真题
· 考研网上辅导热招!  ·2015年考研报考指南   ·历年考研国家分数线汇总   复试信息
 考研教育网官方微信

微信公众账号cnedu_cn

 网上辅导课程特色
  • 即报即学
  • 名师团队
  • 反复看课
  • 在线答疑
  • 移动教学
  • 讲义下载
  • 课后练习
  • 模拟测试
 24小时报名咨询
考研网上辅导课程 特色班 精品班 实验班
学费 购买 学费 购买 学费 购买
公共课 政 治 800元 购买 1500元 购买 3500元 购买
英 语 800元 购买 1500元 购买 3500元 购买
数 学 800元 购买 1500元 购买 3500元 购买

专业课

资料

952所考研院校、57300个招生专业、245000份考研辅导课件、核心纲要、考研笔记、内部题库现正热卖!

说明 专业课请到考研开放平台上注册及缴费----帮助