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考研数学冲刺 矩阵对角化讲解

论坛   2012-11-13 10:03 【 】【我要纠错

2013考研数学复习已进入冲刺阶段,考研数学专家针对有些同学在矩阵对角化这块内容上仍存在一些困惑,特撰此文讲解矩阵对角化相关的知识、注意要点及解题技巧,助力2013考研数学冲刺复习(考|研教育网整理)。

  首先是矩阵对角化的概念:对于n阶矩阵A,若存在一个n阶可逆矩阵P,使P-1AP=Λ(Λ为对角矩阵)成立,则称A可相似对角化,否则就称A不可对角化。概念是要牢记于心的。

  重要定理:若n阶矩阵A可以对角化,则对角矩阵Λ的n个主对角线元素必是A的n个特征值λ1,λ2,…,λn(包括重根),其相似变换矩阵P的n个列向量X1,X2,…,Xn是A的分别属于λ1,λ2,…,λn的特征向量,且X1,X2,…,Xn线性无关,即有:P-1AP=Λ,其中Λ=diag(λ1,λ2,…,λn),P=(X1,X2,…,Xn)为可逆阵,且AXj=λXj(j=1,2,…,n).

  并非所有的n阶矩阵都可对角化,只有满足一定条件的矩阵才可对角化,下面是几个相关结论:

  结论1:n阶矩阵A可以对角化的充分必要条件是A有n个线性无关的特征向量。

  结论2:若n阶矩阵A有n个两两不同的特征值,则A必可对角化。

  结论3:设λi是矩阵A的任一个特征值,其代数重数为ni(即λi是ni重特征值),其几何重数为mi(即属于λi的线性无关的特征向量的最大个数,也是齐次线性方程组(λiE-A)X=0的基础解系中的向量个数,mi=n-r(λiE-A)),则恒有mi≤ni。

  结论4:设n阶矩阵A的两两不等的特征值为λ1,λ2,…,λs(1≤s≤n),则矩阵A可对角化的充分必要条件是,对A的每一个特征值λi,都有mi=ni(i=1,2,…,s)。

  将n阶矩阵A通过相似变换化成对角阵的计算步骤也是需要牢牢掌握的,由于此部分内容较简单,各位考生可自行翻阅《汤家凤考研数学复习大全》这部分内容来学习掌握,并结合书内典型例题加强理解。

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