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线性代数大纲考点和常考题型

考研教育网整理   2015-05-05 16:04 【 】【我要纠错

  在研究生入学考试中,线性代数是数一、数二、数三考生研究生考试的公共内容,占22%(总分150分),考察2个选择题(每题4分,共8分)、1个填空题(每题4分,共8分)、2个解答题(总分22分)。线性代数相对考研数学高数来说,比较简单,要想取得好的成绩,线代争取不丢分。线性代数包含行列式、矩阵、向量、线性方程组、特征值和特征向量、二次型等六个模块,下面结合大纲考点,分章节整理分析常考题型,希望对学员有所帮助。

  一、行列式

  1、考试内容
  (1)行列式的概念和基本性质;
  (2)行列式按行(列)展开定理

  2、考试要求
  (1)了解行列式的概念,掌握行列式的性质;
  (2)会应用行列式的性质和行列式按行(列)展开定理计算行列式。

  3、常考题型
  (1)行列式基本概念;
  (2)低价行列式的计算;
  (3)高阶行列式的计算;
  (4)余子式与代数余子式

  二、矩阵

  1、考试内容
  (1)矩阵的概念;
  (2)矩阵的线性运算;
  (3)矩阵的乘法;
  (4)方阵的幂;
  (5)方阵乘积的行列式;
  (6)矩阵的转置;
  (7)逆矩阵的概念和性质;
  (8)矩阵可逆的充分必要条件;
  (9)伴随矩阵;
  (10)矩阵的初等变换;
  (11)初等矩阵;
  (12)矩阵的秩;
  (13)矩阵的等价;
  (14)分块矩阵及其运算

  2、考试要求
  (1)理解矩阵的概念,了解单位矩阵、数量矩阵、对角矩阵、三角矩阵的定义及性质,了解对称矩阵、反对称矩阵及正交矩阵等的定义和性质;
  (2)掌握矩阵的线性运算、乘法、转置以及它们的运算规律,了解方阵的幂与方阵乘积的行列式的性质;
  (3)理解逆矩阵的概念,掌握逆矩阵的性质以及矩阵可逆的充分必要条件,理解伴随矩阵的概念,会用伴随矩阵求逆矩阵;
  (4)了解矩阵的初等变换和初等矩阵及矩阵等价的概念,理解矩阵的秩的概念,掌握用初等变换求矩阵的逆矩阵和秩的方法;
  (5)了解分块矩阵的概念,掌握分块矩阵的运算法则。
  以上是针对行列式、矩阵两个个模块,结合考研大纲,分章节整理考试内容、考试要求、常考题型,希望学员熟练掌握。

  三、向量

  1、考试内容
  (1)向量的概念;
  (2)向量的线性组合与线性表示;
  (3)向量组的线性相关与线性无关;
  (4)向量组的极大线性无关组;
  (5)等价向量组;
  (6)向量组的秩;
  (7)向量组的秩与矩阵的秩之间的关系;
  (8)向量的内积线性无关向量组的正交规范化方法;
  (9)向量空间及其相关概念;
  (10)n维向量空间的基变换和坐标变换、过渡矩阵、向量的内积。(其中9、10只有数一考生要求掌握,数二、数三考试不要求)

  2、考试要求
  (1)了解向量的概念,掌握向量的加法和数乘运算法则;
  (2)理解向量的线性组合与线性表示、向量组线性相关、线性无关等概念,掌握向量组线性相关、线性无关的有关性质及判别法;
  (3)理解向量组的极大线性无关组的概念,会求向量组的极大线性无关组及秩;
  (4)理解向量组等价的概念,理解矩阵的秩与其行(列)向量组的秩之间的关系;
  (5)了解内积的概念。掌握线性无关向量组正交规范化的施密特(Schmidt)方法。
  (6)了解n维向量空间、子空间、基底、维数、坐标等概念;
  (7)了解基变换和坐标变换公式,会求过渡矩阵。(其中5、6只有数一考生要求掌握,数二、数三考试不要求)

  3、常考题型
  (1)判定向量组的线性相关性;
  (2)向量组线性相关性问题的证明;
  (3)向量组的线性表示问题;
  (4)向量组的极大线性无关组与向量组的秩;
  (5)过度矩阵与向量的坐标表示(数一考生要求、数二、数三考生不要求)

  四、线性方程组

  1、考试内容
  (1)线性方程组的克莱姆(Cramer)法则;
  (2)线性方程组有解和无解的判定;
  (3)齐次线性方程组的基础解系和通解;
  (4)非齐次线性方程组的解与相应的齐次线件方程组(导出组)的解之间的关系;
  (5)非齐次线性方程组的通解

  2、考试要求
  (1)会用克莱姆法则解线性方程组;
  (2)掌握非齐次线性方程组有解和无解的判定方法;
  (3)理解齐次线性方程组的基础解系的概念,掌握齐次线性方程组的基础解系和通解的求法;
  (4)理解非齐次线性方程组解的结构及通解的概念;
  (5)掌握用初等行变换求解线性方程组的方法。

  3、常考题型
  (1)涉及线性方程组理论的矩阵证明;
  (2)线性方程组解得结构与性质;
  (3)齐次线性方程组的基础解系与通解;
  (4)非齐次线性方程组的通解;
  (5)方程组的公共解。

  五、特征值与特征向量

  1、考试内容
  (1)矩阵的特征值和特征向量的概念、性质;
  (2)相似矩阵的概念及性质;
  (3)矩阵可相似对角化的充分必要条件及相似对角矩阵;
  (4)实对称矩阵的特征值和特征向量及相似对角矩阵

  2、考试要求
  (1)理解矩阵的特征值、特征向量的概念,掌握矩阵特征值的性质,掌握求矩阵特征值和特征向量的方法;
  (2)理解矩阵相似的概念,掌握相似矩阵的性质,了解矩阵可相似对角化的充分必要条件,掌握将矩阵化为相似对角矩阵的方法;
  (3)掌握实对称矩阵的特征值和特征向量的性质。

  3、常考题型
  (1)求矩阵的特征值与特征向量;
  (2)特征值与特征向量的定义与性质;
  (3)非是对称矩阵的相似对教化;
  (4)是对称矩阵的对教化;
  (5)求矩阵的幂矩阵;
  (6)根据特征值与特征向量反求矩阵;
  (7)有关特征值与特征向量的证明

  六、二次型

  1、考试内容
  (1)二次型及其矩阵表示;
  (2)合同变换与合同矩阵;
  (3)二次型的秩;
  (4)惯性定理;
  (5)二次型的标准形和规范形;
  (6)用正交变换和配方法化二次型为标准形;
  (7)二次型及其矩阵的正定性

  2、考试要求
  (1)了解二次型的概念,会用矩阵形式表示二次型,了解合同变换与合同矩阵的概念;
  (2)了解二次型的秩的概念,了解二次型的标准形、规范形等概念,了解惯性定理,会用正交变换和配方法化二次型为标准形;
  (3)理解正定二次型。正定矩阵的概念,并掌握其判别法。

  3、常考题型
  (1)二次型的概念和性质;
  (2)化二次型为标准型;
  (3)含参数的二次型问题;
  (4)正定二次型的判别与证明问题;
  (5)矩阵的相似与合同
  以上是针对线性方程组、特征值与特征向量、二次型三个模块,结合考研大纲分章节梳理、分析,希望2016考研的学员对这些内容心中有数,熟练掌握。

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