考试大纲

来源：考研网  2015-10-27 10:57 字体： 放大 正常 缩小 打印
《考研数学》考试大纲
　　一、函数、极限、连续
　　1.理解函数的概念，掌握函数的表示法，会建立应用问题的函数关系。
　　2.了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性。
　　3.理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念。
　　4.掌握基本初等函数的性质及其图形，了解初等函数的概念。
　　5.理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念以及函数极限存在与左极限、右极限之间的关系。
　　6.掌握极限的性质及四则运算法则。
　　7.掌握极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法。
　　8.理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的比较方法，会用等价无穷小量求极限。
　　9.理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型。
　　10.了解连续函数的性质和初等函数的连续性，理解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质。

　　二、一元函数微分学
　　1.理解导数和微分的概念，理解导数与微分的关系，理解导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程，了解导数的物理意义，会用导数描述一些物理量，理解函数的可导性与连续性之间的关系。
　　2.掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，掌握基本初等函数的导数公式.了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，会求函数的微分。
　　3.了解高阶导数的概念，会求简单函数的高阶导数。
　　4.会求分段函数的导数，会求隐函数和由参数方程所确定的函数以及反函数的导数。
　　5.理解并会用罗尔（Rolle）定理、拉格朗日（Lagrange）中值定理和泰勒（Taylor）定理，了解并会用柯西（Cauchy）中值定理。
　　6.掌握用洛必达法则求未定式极限的方法。
　　7.理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法，掌握函数最大值和最小值的求法及其应用。
　　8.会用导数判断函数图形的凹凸性（注：在区间 内，设函数 具有二阶导数.当 时， 的图形是凹的;当 时， 的图形是凸的），会求函数图形的拐点以及水平、铅直和斜渐近线，会描绘函数的图形。
　　9.了解曲率、曲率圆与曲率半径的概念，会计算曲率和曲率半径。

　　三、一元函数积分学
　　1.理解原函数的概念，理解不定积分和定积分的概念。
　　2.掌握不定积分的基本公式，掌握不定积分和定积分的性质及定积分中值定理，掌握换元积分法与分部积分法。
　　3.会求有理函数、三角函数有理式和简单无理函数的积分。
　　4.理解积分上限的函数，会求它的导数，掌握牛顿-莱布尼茨公式。
　　5.了解反常积分的概念，会计算反常积分。
　　6.掌握用定积分表达和计算一些几何量与物理量（平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积、功、引力、压力、质心、形心等）及函数的平均值。

　　四、向量代数和空间解析几何
　　1.理解空间直角坐标系，理解向量的概念及其表示。
　　2.掌握向量的运算（线性运算、数量积、向量积、混合积），了解两个向量垂直、平行的条件。
　　3.理解单位向量、方向数与方向余弦、向量的坐标表达式，掌握用坐标表达式进行向量运算的方法。
　　4.掌握平面方程和直线方程及其求法。
　　5.会求平面与平面、平面与直线、直线与直线之间的夹角，并会利用平面、直线的相互关系（平行、垂直、相交等））解决有关问题。
　　6.会求点到直线以及点到平面的距离。
　　7.了解曲面方程和空间曲线方程的概念。
　　8.了解常用二次曲面的方程及其图形，会求简单的柱面和旋转曲面的方程。
　　9.了解空间曲线的参数方程和一般方程.了解空间曲线在坐标平面上的投影，并会求该投影曲线的方程。

　　五、多元函数微分学
　　1.理解多元函数的概念，理解二元函数的几何意义。
　　2.了解二元函数的极限与连续的概念以及有界闭区域上连续函数的性质。
　　3.理解多元函数偏导数和全微分的概念，会求全微分，了解全微分存在的必要条件和充分条件，了解全微分形式的不变性。
　　4.理解方向导数与梯度的概念，并掌握其计算方法。
　　5.掌握多元复合函数一阶、二阶偏导数的求法。
　　6.了解隐函数存在定理，会求多元隐函数的偏导数。
　　7.了解空间曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的概念，会求它们的方程。
　　8.了解二元函数的二阶泰勒公式。
　　9.理解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，了解二元函数极值存在的充分条件，会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值，会求简单多元函数的最大值和最小值，并会解决一些简单的应用问题。

　　六、多元函数积分学
　　1.理解二重积分、三重积分的概念，了解重积分的性质，，了解二重积分的中值定理。
　　2.掌握二重积分的计算方法（直角坐标、极坐标），会计算三重积分（直角坐标、柱面坐标、球面坐标）。
　　3.理解两类曲线积分的概念，了解两类曲线积分的性质及两类曲线积分的关系。
　　4.掌握计算两类曲线积分的方法。
　　5.掌握格林公式并会运用平面曲线积分与路径无关的条件，会求二元函数全微分的原函数。
　　6.了解两类曲面积分的概念、性质及两类曲面积分的关系，掌握计算两类曲面积分的方法，掌握用高斯公式计算曲面积分的方法，并会用斯托克斯公式计算曲线积分。
　　7.了解散度与旋度的概念，并会计算。
　　8.会用重积分、曲线积分及曲面积分求一些几何量与物理量（平面图形的面积、体积、曲面面积、弧长、质量、质心、形心、转动惯量、引力、功及流量等）。

　　七、无穷级数
　　1.理解常数项级数收敛、发散以及收敛级数的和的概念，掌握级数的基本性质及收敛的必要条件。
　　2.掌握几何级数与 级数的收敛与发散的条件。
　　3.掌握正项级数收敛性的比较判别法和比值判别法，会用根值判别法。
　　4.掌握交错级数的莱布尼茨判别法。
　　5.了解任意项级数绝对收敛与条件收敛的概念以及绝对收敛与收敛的关系。
　　6.了解函数项级数的收敛域及和函数的概念。
　　7.理解幂级数收敛半径的概念，并掌握幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法。
　　8.了解幂级数在其收敛区间内的基本性质（和函数的连续性、逐项求导和逐项积分），会求一些幂级数在收敛区间内的和函数，并会由此求出某些数项级数的和。
　　9.了解函数展开为泰勒级数的充分必要条件。
　　10.掌握麦克劳林（Maclaurin）展开式，会用它们将一些简单函数间接展开为幂级数。
　　11.了解傅里叶级数的概念和狄利克雷收敛定理，会将定义在 上的函数展开为傅里叶级数，会将定义在 上的函数展开为正弦级数与余弦级数，会写出傅里叶级数的和函数的表达式。

　　八、常微分方程
　　1.了解微分方程及其阶、解、通解、初始条件和特解等概念。
　　2.掌握变量可分离的微分方程及一阶线性微分方程的解法。
　　3.会解齐次微分方程、伯努利方程和全微分方程，会用简单的变量代换解某些微分方程。
　　4.会用降阶法解下列形式的微分方程： 和 。
　　5.理解线性微分方程解的性质及解的结构。
　　6.掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，并会解某些高于二阶的常系数齐次线性微分方程。
　　7.会解自由项为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程。
　　8.会解欧拉方程。
　　9.会用微分方程解决一些简单的应用问题。
　　通过与2015年的数学一大纲比较，今年没有做任何调整，同学们按照原计划复习，夯实基础，把握重点，重视总结、归纳解题思路、方法和技巧，提高解题计算能力必能在2016的考试中创造辉煌。最后祝同学们，金榜题名。

　　考试科目：高等数学、线性代数
　　考试形式和试卷结构
　　一、试卷满分及考试时间
　　试卷满分为150分，考试时间为180分钟。
　　二、答题方式
　　答题方式为闭卷、笔试。
　　三、试卷内容结构
　　高等教学约78%
　　线性代数约22%
　　四、试卷题型结构
　　单项选择题8小题，每小题4分，共32分
　　填空题6小题，每小题4分，共24分
　　解答题（包括证明题） 9小题，共94分

　　高等数学
　　一、函数、极限、连续
　　考试内容
　　函数的概念及表示法函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性复合函数、反函数、分段函数和隐函数基本初等函数的性质及其图形初等函数函数关系的建立数列极限与函数极限的定义及其性质函数的左极限与右极限无穷小量和无穷大量的概念及其关系无穷小量的性质及无穷小量的比较极限的四则运算极限存在的两个准则：单调有界准则和夹逼准则两个重要极限：
　　函数连续的概念函数间断点的类型初等函数的连续性闭区间上连续函数的性质
　　考试要求
　　1.理解函数的概念，掌握函数的表示法，并会建立应用问题的函数关系。
　　2.了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性。
　　3.理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念。
　　4.掌握基本初等函数的性质及其图形，了解初等函数的概念。
　　5.理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念以及函数极限存在与左极限、右极限之间的关系。
　　6.掌握极限的性质及四则运算法则。
　　7.掌握极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法。
　　8.理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的比较方法，会用等价无穷小量求极限。
　　9.理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型。
　　10.了解连续函数的性质和初等函数的连续性，理解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质。

　　二、一元函数微分学
　　考试内容
　　导数和微分的概念导数的几何意义和物理意义函数的可导性与连续性之间的关系平面曲线的切线和法线导数和微分的四则运算基本初等函数的导数复合函数、反函数、隐函数以及参数方程所确定的函数的微分法高阶导数一阶微分形式的不变性微分中值定理洛必达（L'Hospital）法则函数单调性的判别函数的极值函数图形的凹凸性、拐点及渐近线函数图形的描绘函数的最大值与最小值弧微分曲率的概念曲率圆与曲率半径
　　考试要求
　　1.理解导数和微分的概念，理解导数与微分的关系，理解导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程，了解导数的物理意义，会用导数描述一些物理量，理解函数的可导性与连续性之间的关系。
　　2.掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，掌握基本初等函数的导数公式。了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，会求函数的微分。
　　3.了解高阶导数的概念，会求简单函数的高阶导数。
　　4.会求分段函数的导数，会求隐函数和由参数方程所确定的函数以及反函数的导数。
　　5.理解并会用罗尔（Rolle）定理、拉格朗日（Lagrange）中值定理和泰勒（Taylor）定理，了解并会用柯西（Cauchy）中值定理。
　　6.掌握用洛必达法则求未定式极限的方法。
　　7.理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法，掌握函数的最大值和最小值的求法及其应用。
　　8.会用导数判断函数图形的凹凸性（注：在区间内，设函数具有二阶导数。当时，的图形是凹的；当时，的图形是凸的），会求函数图形的拐点以及水平、铅直和斜渐近线，会描绘函数的图形。
　　9.了解曲率、曲率圆和曲率半径的概念，会计算曲率和曲率半径。

　　三、一元函数积分学
　　考试内容
　　原函数和不定积分的概念不定积分的基本性质基本积分公式定积分的概念和基本性质定积分中值定理积分上限的函数及其导数牛顿-莱布尼茨（Newton-Leibniz）公式不定积分和定积分的换元积分法与分部积分法有理函数、三角函数的有理式和简单无理函数的积分反常（广义）积分定积分的应用
　　考试要求
　　1.理解原函数的概念，理解不定积分和定积分的概念。
　　2.掌握不定积分的基本公式，掌握不定积分和定积分的性质及定积分中值定理，掌握换元积分法与分部积分法。
　　3.会求有理函数、三角函数有理式和简单无理函数的积分。
　　4.理解积分上限的函数，会求它的导数，掌握牛顿-莱布尼茨公式。
　　5.了解反常积分的概念，会计算反常积分。
　　6.掌握用定积分表达和计算一些几何量与物理量（平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积、功、引力、压力、质心、形心等）及函数平均值。

　　四、多元函数微积分学
　　考试内容
　　多元函数的概念二元函数的几何意义二元函数的极限与连续的概念有界闭区域上二元连续函数的性质多元函数的偏导数和全微分多元复合函数、隐函数的求导法二阶偏导数多元函数的极值和条件极值、最大值和最小值二重积分的概念、基本性质和计算
　　考试要求
　　1.了解多元函数的概念，了解二元函数的几何意义。
　　2.了解二元函数的极限与连续的概念，了解有界闭区域上二元连续函数的性质。
　　3.了解多元函数偏导数与全微分的概念，会求多元复合函数一阶、二阶偏导数，会求全微分，了解隐函数存在定理，会求多元隐函数的偏导数。
　　4.了解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，了解二元函数极值存在的充分条件，会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值，会求简单多元函数的最大值和最小值，并会解决一些简单的应用问题。
　　5.了解二重积分的概念与基本性质，掌握二重积分的计算方法（直角坐标、极坐标）。

　　五、常微分方程
　　考试内容
　　常微分方程的基本概念变量可分离的微分方程齐次微分方程一阶线性微分方程可降阶的高阶微分方程线性微分方程解的性质及解的结构定理二阶常系数齐次线性微分方程高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程简单的二阶常系数非齐次线性微分方程微分方程的简单应用
　　考试要求
　　1.了解微分方程及其阶、解、通解、初始条件和特解等概念。
　　2.掌握变量可分离的微分方程及一阶线性微分方程的解法，会解齐次微分方程。
　　3.会用降阶法解下列形式的微分方程：和。
　　4.理解二阶线性微分方程解的性质及解的结构定理。
　　5.掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，并会解某些高于二阶的常系数齐次线性微分方程。
　　6.会解自由项为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程。
　　7.会用微分方程解决一些简单的应用问题。

　　线性代数
　　一、行列式
　　考试内容
　　行列式的概念和基本性质行列式按行（列）展开定理
　　考试要求
　　1.了解行列式的概念，掌握行列式的性质。
　　2.会应用行列式的性质和行列式按行（列）展开定理计算行列式。

　　二、矩阵
　　考试内容
　　矩阵的概念矩阵的线性运算矩阵的乘法方阵的幂方阵乘积的行列式矩阵的转置逆矩阵的概念和性质矩阵可逆的充分必要条件伴随矩阵矩阵的初等变换初等矩阵矩阵的秩矩阵的等价分块矩阵及其运算
　　考试要求
　　1.理解矩阵的概念，了解单位矩阵、数量矩阵、对角矩阵、三角矩阵、对称矩阵、反对称矩阵和正交矩阵以及它们的性质。
　　2.掌握矩阵的线性运算、乘法、转置以及它们的运算规律，了解方阵的幂与方阵乘积的行列式的性质。
　　3.理解逆矩阵的概念，掌握逆矩阵的性质以及矩阵可逆的充分必要条件。理解伴随矩阵的概念，会用伴随矩阵求逆矩阵。
　　4.了解矩阵初等变换的概念，了解初等矩阵的性质和矩阵等价的概念，理解矩阵的秩的概念，掌握用初等变换求矩阵的秩和逆矩阵的方法。
　　5.了解分块矩阵及其运算。

　　三、向量
　　考试内容
　　向量的概念向量的线性组合和线性表示向量组的线性相关与线性无关向量组的极大线性无关组等价向量组向量组的秩向量组的秩与矩阵的秩之间的关系向量的内积线性无关向量组的的正交规范化方法
　　考试要求
　　1.理解维向量、向量的线性组合与线性表示的概念。
　　2.理解向量组线性相关、线性无关的概念，掌握向量组线性相关、线性无关的有关性质及判别法。
　　3.了解向量组的极大线性无关组和向量组的秩的概念，会求向量组的极大线性无关组及秩。
　　4.了解向量组等价的概念，了解矩阵的秩与其行（列）向量组的秩的关系。
　　5.了解内积的概念，掌握线性无关向量组正交规范化的施密特（Schmidt）方法。

　　四、线性方程组
　　考试内容
　　线性方程组的克拉默（Cramer）法则齐次线性方程组有非零解的充分必要条件非齐次线性方程组有解的充分必要条件线性方程组解的性质和解的结构齐次线性方程组的基础解系和通解非齐次线性方程组的通解
　　考试要求
　　1.会用克拉默法则。
　　2.理解齐次线性方程组有非零解的充分必要条件及非齐次线性方程组有解的充分必要条件。
　　3.理解齐次线性方程组的基础解系及通解的概念，掌握齐次线性方程组的基础解系和通解的求法。
　　4.理解非齐次线性方程组的解的结构及通解的概念。
　　5.会用初等行变换求解线性方程组。

　　五、矩阵的特征值和特征向量
　　考试内容
　　矩阵的特征值和特征向量的概念、性质相似矩阵的概念及性质矩阵可相似对角化的充分必要条件及相似对角矩阵实对称矩阵的特征值、特征向量及其相似对角矩阵
　　考试要求
　　1.理解矩阵的特征值和特征向量的概念及性质，会求矩阵的特征值和特征向量。
　　2.理解相似矩阵的概念、性质及矩阵可相似对角化的充分必要条件，会将矩阵化为相似对角矩阵。
　　3.理解实对称矩阵的特征值和特征向量的性质。

　　六、二次型
　　考试内容
　　二次型及其矩阵表示合同变换与合同矩阵二次型的秩惯性定理二次型的标准形和规范形用正交变换和配方法化二次型为标准形二次型及其矩阵的正定性
　　考试要求
　　1.了解二次型的概念，会用矩阵形式表示二次型，了解合同变换与合同矩阵的概念。
　　2.了解二次型的秩的概念，了解二次型的标准形、规范形等概念，了解惯性定理，会用正交变换和配方法化二次型为标准形。
　　3.理解正定二次型、正定矩阵的概念，并掌握其判别法。

　　一、函数、极限、连续
　　1.理解函数的概念，掌握函数的表示法，会建立应用问题的函数关系。
　　2.了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性。
　　3.理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念。
　　4.掌握基本初等函数的性质及其图形，了解初等函数的概念。
　　5.了解数列极限和函数极限（包括左极限与右极限）的概念。
　　6.了解极限的性质与极限存在的两个准则，掌握极限的四则运算法则，掌握利用两个重要极限求极限的方法。
　　7.理解无穷小量的概念和基本性质，掌握无穷小量的比较方法。了解无穷大量的概念及其与无穷小量的关系。
　　8.理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型。
　　9.了解连续函数的性质和初等函数的连续性，理解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质。

　　二、一元函数微分学
　　1.理解导数的概念及可导性与连续性之间的关系，了解导数的几何意义与经济意义（含边际与弹性的概念），会求平面曲线的切线方程和法线方程。
　　2.掌握基本初等函数的导数公式、导数的四则运算法则及复合函数的求导法则，会求分段函数的导数，会求反函数与隐函数的导数。
　　3.了解高阶导数的概念，会求简单函数的高阶导数。
　　4.了解微分的概念、导数与微分之间的关系以及一阶微分形式的不变性，会求函数的微分。
　　5.理解罗尔（Rolle）定理、拉格朗日（ Lagrange）中值定理，了解泰勒（Taylor）定理、柯西（Cauchy）中值定理，掌握这四个定理的简单应用。
　　6.会用洛必达法则求极限。
　　7.掌握函数单调性的判别方法，了解函数极值的概念，掌握函数极值、最大值和最小值的求法及其应用。
　　8.会用导数判断函数图形的凹凸性（注：在区间内，设函数具有二阶导数。当时，的图形是凹的；当时，的图形是凸的），会求函数图形的拐点和渐近线。
　　9.会描述简单函数的图形。

　　三、一元函数积分学
　　1.理解原函数与不定积分的概念，掌握不定积分的基本性质和基本积分公式，掌握不定积分的换元积分法与分部积分法。
　　2.了解定积分的概念和基本性质，了解定积分中值定理，理解积分上限的函数并会求它的导数，掌握牛顿-莱布尼茨公式以及定积分的换元积分法和分部积分法。
　　3.会利用定积分计算平面图形的面积、旋转体的体积和函数的平均值，会利用定积分求解简单的经济应用问题。
　　4.了解反常积分的概念，会计算反常积分。

　　四、多元函数微积分学
　　1.了解多元函数的概念，了解二元函数的几何意义。
　　2.了解二元函数的极限与连续的概念，了解有界闭区域上二元连续函数的性质。
　　3.了解多元函数偏导数与全微分的概念，会求多元复合函数一阶、二阶偏导数，会求全微分，会求多隐函数的偏导数。
　　4.了解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，了解二元函数极值存在的充分条件，会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值，会求简单多元函数的最大值和最小值，并会解决简单的应用问题。
　　5.了解二重积分的概念与基本性质，掌握二重积分的计算方法（直角坐标、极坐标），了解无界区域上较简单的反常二重积分并会计算。

　　五、无穷级数
　　1.了解级数的收敛与发散、收敛级数的和的概念。
　　2.了解级数的基本性质及级数收敛的必要条件，掌握几何级数及级数的收敛与发散的条件，掌握正项级数收敛性的比较判别法和比值判别法。
　　3.了解任意项级数绝对收敛与条件收敛的概念以及绝对收敛与收敛的关系，了解交错级数的莱布尼茨判别法。
　　4.会求幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域。
　　5.了解幂级数在其收敛区间内的基本性质（和函数的连续性、逐项求导和逐项积分），会求简单幂级数在其收敛区间内的和函数。
　　6.了解麦克劳林（Maclaurin）及的麦克劳林（Maclaurin）展开式。

　　六、常微分方程与差分方程
　　1.了解微分方程及其阶、解、通解、初始条件和特解等概念。
　　2.掌握变量可分离的微分方程、齐次微分方程和一阶线性微分方程的求解方法。
　　3.会解二阶常系数齐次线性微分方程。
　　4.了解线性微分方程解的性质及解的结构定理，会解自由项为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数的二阶常系数非齐次线性微分方程。
　　5.了解差分与差分方程及其通解与特解等概念。
　　6.了解一阶常系数线性差分方程的求解方法。
　　7.会用微分方程求解简单的经济应用问题。